第三章 位置与坐标 【要点梳理】 1 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 （1）行列定位法：把平面分成若于行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置。 （2）方位角和距离定位法：确定物体的位置需要两个数据：方位角和距离。二者缺一不可 （3）经纬度定位法：用经度和纬度来确定物体的位置。 （4）区域定位法：先将平面划分为横纵区域，再用横纵区域的编号表示物体的位置。 （5）方格定位法：在方格纸上，一个点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格 数）或记作（水平距离，纵向距离）。 2 平面直角坐标系及有关概念 （1）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。 （2）x 轴或横轴指水平的数轴，取向右为正方向； y 轴或纵轴指铅直的数轴，取向上为正方向； x 轴和 y 轴统称坐标轴； 它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点； 建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 （3）象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做 第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3 点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的坐标。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不 能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4 不同位置的点的坐标的特征 （1）各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ⇔ x >0 , y >0 点 P(x,y)在第二象限 ⇔ x <0 , y >0 点 P(x,y)在第三象限 ⇔ x <0 , y <0 a≠b 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 点 P(x,y)在第四象限 ⇔ x >0 , y <0 （2）、坐标轴上的点的特征 ⇔ y=0 点 P(x,y)在 x 轴上 ，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ⇔ x=0 ，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔ x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线 y=x）上 ⇔ x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ⇔ x 与 y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 （5）、关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ⇔ 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 为 P’（x，-y） 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ⇔ 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P’（-x，y） 点 P 与点 p’关于原点对称 ⇔ 横、纵坐标均互为相反数，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P’（x，-y） (6)、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 |y| 点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 |x| 点 P(x,y)到原点的距离等于 √ x2+ y 2 5 坐标变化与图形变化的规律： 坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x×a或 y×a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a 倍 x × a， y × a 放大（缩小）为原来的 a 倍 x ×（ -1）或 y ×（ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称 x ×（ -1）， y ×（ -1） 关于原点成中心对称 x +a 或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a 个单位，再沿 y 轴平移 a 个单 【典型例题】 考点 1 确定位置 例 1 以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如果出校 门向东走 60m，再向北走 80m，记作（60，80），那么明明家位置（﹣30，60）的含义是（ ） A．出校门向西走出校门向西走 30m，再向南走 60m B．出校门向西走出校门向西走 30m，再向北走 60m C．出校门向西走出校门向东走 30m，再向南走 60m D．出校门向西走出校门向东走 30m，再向北走 60m 【答案】B 【解析】由以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 得明明家位置（﹣30，60）表示出校门向西走 30 米，向北走 60 米，故 B 符合题意．出校门向西走 故选：B．出校门向西走 考点 2 象限内点的特征 例 2 如果 P（a+b，ab）在第二象限，那么点 Q（﹣a，b）在第（ ）象限．出校门向西走 A．出校门向西走一 B．出校门向西走二 【答案】D 【解析】∵P（a+b，ab）在第二象限， ∴a+b＜0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣a＞0， C．出校门向西走三 D．出校门向西走四 ∴点 Q（﹣a，b）在第四象限．出校门向西走 故选：D．出校门向西走 例 3 直角坐标系中点 P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（ A．出校门向西走第一象限 B．出校门向西走第二象限 C．出校门向西走第三象限 ） D．出校门向西走第四象限 【答案】B 【解析】∵（a+2）﹣（a﹣2）＝a+2﹣a+2＝4， ∴点 P 的横坐标比纵坐标大， ∵第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点 P 不可能在第二象限．出校门向西走 故选：B．出校门向西走 考点 3 坐标轴上点的特征 例 4 如果点 P（m+3，2m+4）在 y 轴上，那么点 Q（m﹣3，﹣3）的位置在（ A．出校门向西走纵轴上 B．出校门向西走横轴上 C．出校门向西走第三象限 ） D．出校门向西走第四象限 【答案】C 【解析】∵点 P（m+3，2m+4）在 y 轴上， ∴m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴点 Q 的坐标为（﹣6，﹣3）， ∴点 Q 在第三象限．出校门向西走 故选：C．出校门向西走 考点 4 点到坐标轴的距离 例 5 点 P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的 x 轴上，并且点 P 到 y 轴的距离为 2，则 a+b 的值为（ A．出校门向西走﹣1 B．出校门向西走﹣2 C．出校门向西走﹣1 或﹣6 D．出校门向西走﹣2 或﹣6 【答案】D 【解析】∵点 P（a+3，b+1）在平面直角 坐标系的 x 轴上，并且点 P 到 y 轴的距离为 2， ∴b+1＝0，|a+3|＝2， ∴a＝﹣1 或﹣5，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣2 或﹣6， 故选：D．出校门向西走 考点 5 角平分线上点的特征 ） 例 6 若点 A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点 B（﹣a，1﹣a）在（ A．出校门向西走第一象限 B．出校门向西走第二象限 C．出校门向西走第三象跟 ） D．出校门向西走第四象限 【答案】B 【解析】∵点 A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上， ∴a+1＝﹣（a﹣2）， 1 2 解得 a¿ ．出校门向西走 1 2 ∴﹣a¿− ，1﹣a＝1 −1 1 ， = 2 2 ∴点 B（﹣a，1﹣a）在第二象限．出校门向西走 故选：B．出校门向西走 考点 6 点的坐标确定位置 例 7 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（ 0，﹣2）表示，小刚的 位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（ A．出校门向西走（﹣2，﹣3） B．出校门向西走（﹣3，﹣2） ） C．出校门向西走（﹣3，﹣4） 【答案】A 【解析】由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系： D．出校门向西走（﹣4，﹣3） 则小华的位置可表示为（﹣2，﹣3）， 故选：A．出校门向西走 考点 7 坐标与图形的性质 例 8.已知点 A（b﹣4，3+b），B（3b﹣1，2），AB⊥x 轴，则点 A 的坐标是 【答案】（ ．出校门向西走 −11 3 ， ） 2 2 【解析】∵AB⊥x 轴， ∴b﹣4＝3b﹣1， 3 2 解得：b¿− ， 则 b﹣4¿− −¿4¿− 3 2 11 −3 3 ，3+b＝3 = ， 2 2 2 所以点 A 的坐标为（ −11 3 ， ）， 2 2 故答案为：（ −11 3 ， ） 2 2 考点 8 图形在坐标系中的平移 例 9.△ABC 与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．出校门向西走 （1）分别写出下列各点的坐标：A ； B ；C （2）△ABC 由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答： ； ．出校门向西走 （3）若点 P（x，y）是△ABC 内部一点，则△A'B'C'内部的对应点 P'的坐标为 （4）求△ABC 的面积．出校门向西走 【解析】（1）A（1，3）； B（2，0）；C（3，1）； （2）先向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位； ； 或：先向上平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位； （3）P′（x﹣4，y﹣2）； （4）△ABC 的面积＝2×3 −1 −1 −1 ×1×3 ×1×1 ×2×2 2 2 2 ＝6﹣1.5﹣0.5﹣2 ＝2．出校门向西走 故答案为：（1）（1，3）； （2，0）；（3，1）；（2）先向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位； （3）（x﹣4，y﹣2）．出校门向西走 考点 9 坐标与图形的变化—对称 例 10.在平面直角坐标系中，直线 l 过点 M（3，0），且平行于 y 轴．出校门向西走 （1）如果△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC 关于 y 轴 的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线 l 的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2 的三个顶点的坐标； （2）如果点 P 的坐标是（﹣a，0），其中 a＞0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关于直线 l 的对称 点是 P2，求 PP2 的长．出校门向西走 【答案】（1）△A2B2C2 的三个顶点的坐标分别是 A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）； （2）如图 1，当 0＜a≤3 时，∵P 与 P1 关于 y 轴对称，P（﹣a，0）