第五章 二元一次方程组 【要点梳理】 1 二元一次方程：通过化简后，只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1,系数都不是 0 的整式方 程。 2 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 3 二元一次方程组：由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组。 4 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解 5 二元一次方程组的解法 （1）基本思想：消元 （2）常用方法：代入（消元）法（2）加减（消元）法 （3）根据方程未知数的系数特征选用方法 6 代入法解二元一次方程组 (1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如 y，用含 x 的代数 式表示; (2)把这个含 x 的代数式代入另一个方程中，消去 y，得到一个关于 x 的一元一次方程； (3)解一元一次方程，求出 x 的值; (4)再把求出的 x 的值代入变形后的方程，求出 y 的值. 7 用加减法解二元一次方程组 (1)利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其 绝对值相等； (2)把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ； (4)把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解 8 列二元一次方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题目中的等量关系． 设：设未知数． 列：根据等量关系，列出方程组． 解：解方程组，求出未知数． 答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案． 9 一次函数与二元一次方程（组）的关系： （1）一次函数与二元一次方程的关系： 直线 y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程 kx- y+b=0 的解 （2）一次函数与二元一次方程组的关系： a c a c a1 x +b1 y=c 1 y  1 x1  1 y  2 x1  2 b1 b1 和 b2 b2 的图象 二元一次方程组 a2 x+b的解可看作一次函数 2 y=c2 { 的交点。 当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明 相应的二元一次方程组无解。 【典型例题】 考点 1 二元一次方程的概念 例 1 有下列方程：① xy＝2；② 3x＝4y；③ x+ 次方程有（ ＝2；④ y2＝4x；⑤ ＝3y﹣11；⑥ x+y﹣1z＝1．其中二元一 C．3 个 D．4 个 ） A．1 个 B．2 个 【答案】B 【解析】① xy＝2 属于二元二次方程，故不符合题意； ②3x＝4y 符合二元一次方程的定义，故符合题意； ③x+ ＝2 不是整式方程，故不符合题意； ④y2＝4x 属于二元二次方程，故不符合题意； ⑤ ＝3y﹣11 符合二元一次方程的定义，故符合题意； ⑥x+y﹣1z＝1 属于三元一次方程，故不符合题意． 故其中二元一次方程有 2 个． 故选：B． 考点 2 二元一次方程的整数解 例 2 二元一次方程 2x+3y＝15 的非负整数解有（ A．2 B．3 【答案】B 【解析】当 y＝0，x＝7.5， 当 y＝1，x＝6， 当 y＝2，x＝4.5， 当 y＝3，x＝3， 当 y＝4，x＝1.5， 当 y＝5，x＝0， ）个． C．4 D．5 所以二元一次方程 2x+3y＝15 的非负整数解有 3 个， 故选：B． 考点 3 解二元一次方程组 例 3 计算 （1） （2） 【答案】解：（1） ， ①+②×2 得：7x＝21， 解得：x＝3， 把 x＝3 代入②得：y＝﹣12， 则方程组的解为 ； （2）方程组整理得： ， ②﹣1①×3 得：14y＝﹣142， 解得：y＝﹣13， 把 y＝﹣13 代入①得：x＝﹣16， 则方程组的解为 ． 考点 4 二元一次方程组的解 例 4 已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，求关于 a、b 的二元一次方程组 的解． 【答案】解：∵关于 x、y 的二元一次方程组 ∴关于 a．b 的二元一次方程组 解得 的解是 满足 ， ， ． 故关于 a．b 的二元一次方程组 的解是 ． 考点 5 二元一次方程组的应用之配套问题 例 5 某工厂加工螺栓、螺帽，已知每 1 块金属原料可以加工成 3 个螺栓或 4 个螺帽（说明：每块金属原料 无法同时既加工螺栓又加工螺帽），已知 1 个螺栓和 2 个螺帽组成一个零件，为了加工更多的零件，要 求螺栓和螺帽恰好配套．若把 26 块相同的金属原料全部加工完，问加工的螺栓和螺帽是否存在恰好配 套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺帽各需要的金属原料块数，若不存在恰好配套，请说明理由． 【分析】设把 x 块金属原料加工成螺栓，y 块金属原料加工成螺帽正好配套，根据共 26 块相同的金属原 料且加工的螺帽数量是螺栓的 2 倍，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 x，y 的值， 结合 x，y 为整数可得出加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套． 【答案】解：设把 x 块金属原料加工成螺栓，y 块金属原料加工成螺帽正好配套， 依题意，得： 解得： ， ， ∵x，y 均为整数， ∴加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套． 考点 6 二元一次方程组的应用之九章算术 例 6 请根据下面古文列方程组解应用题： 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．二百一十五只碗，看看用尽不差争．两人共食一碗饭，三人共吃一 碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．大意为“山中古寺，不知有多少僧人．若两人共用一碗饭， 三人共用一碗羹，恰好用尽 215 只碗．请求出寺中僧人人数”． 【答案】解：设用于盛饭的碗 x 只，用于盛羹的碗 y 只． 依题意列方程组，得： 解得： 2x＝3y＝258． 答：寺内僧人共 258 人． 考点 7 二元一次方程组的应用之几何问题 例 7 工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由 3 个长方形侧面和 2 个正三角形底面组成， 仓库有甲、乙两种规格的纸板共 2600 张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出 4 个侧面（如图①），乙 种规格的纸板可以裁出 3 个底面和 2 个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用． （1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？ （2）一共能生产多少个巧克力包装盒？ 【答案】（1）设甲种规格的纸板有 x 个，乙种规格的纸板有 y 个， 依题意，得： 解得： ， ． 答：甲种规格的纸板有 1000 个，乙种规格的纸板有 1600 个． （2）1600×3÷2＝2400（个）． 答：一共能生产 2400 个巧克力包装盒． 考点 8 二元一次方程组的应用之方案设计问题 例 8 某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共 300 人，八年级师生共 220 人． （1）已知七年级教师比八年级教师多 6 人，七年级学生比八年级学生多 37%，求七年级教师与学生各 有多少人； （2）参现某景点时、需要乘船游玩，现有 A、B 两种型号的游船，A 型船的座位数是 B 型船的 1.5 倍， 若七年级师生全部乘坐 A 型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐 B 型船，要比七年级乘坐的 A 型船多 一艘且空 20 个座位，问： ①A、B 两种游船每艘分别有多少个座位； ② 若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】解：（1）设七年级教师有 x 人，学生有 y 人， 依题意，得： 解得： ， ． 答：七年级教师有 100 人，学生有 200 人． （2）①设 B 型船每艘有 m 个座位，则 A 型船每艘有 1.5m 个座位， 依题意，得： ﹣1 ＝1， 解得：m＝40， 经检验，m＝40 是原分式方程的解，且符合题意， ∴1.5m＝60． 答：A 型船每艘有 60 个座位，B 型船每艘有 40 个座位． ② 设需租用 A 型船 a 艘，租用 B 型船 b 艘， 依题意，得：60a+40b＝300+220， ∴b＝13﹣1 a． 又∵a，b 均为非负整数， ∴ ， ， ， ， ， ∴共有 5 种租船方案，方案 1：租用 13 艘 B 型船；方案 2：租用 2 艘 A 型船，10 艘 B 型船；方案 3：租 用 4 艘 A 型船，7 艘 B 型船；方案 4：租用 6 艘 A 型船，4 艘 B 型船；方案 5：租用 8 艘 A 型船，1 艘 B 型船． 考点 9 二元一次方程组与一次函数 例 9 如图，直线 l1：y＝kx+b 与直线 l2：y＝﹣1x+4 交于点 C（m，2），直线 l1 经过点（4，6）． （1）求直线 l1 的函数表达式； （2）直接写出方程组 的解； （3）若点 P（3，n）在直线 l1 的下方，直线 l2 的上方，写出 n 的取值范围． 【答案】解：（1）当 y＝2 时，﹣1x+4＝2，解得 x＝2， 即 C 点坐标为（2，2）； 由 y＝kx+b 与直线 l2：y＝﹣1x+4 交于点 C（m，2），直线 l1 经过点（4，6），得 ， 解得 ， 直线 l1 的函数表达式为 y＝2x﹣12； （2）由图象的交点坐标得 方程组 的解是 ； （3）由点 P（3，n）在直线 l1 的下方，直线 l2 的上方，得 y2＜n＜y1． 当 x＝3 时，y1＝2×3﹣12＝4，y2＝﹣13+4＝1， n 的取值范围是 1＜n＜4． 【巩固练习】 一、选择题 1．若方程（a+3）x+3y|a|﹣12＝1 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的值为（ A．﹣13 B．±2 C．±3 ） D．3 2．我们探究得方程 x+y＝2 的正整数解只有 1 组，方程 x+y＝3 的正整数解只有 2 组，方程 x+y＝4 的正整数 解只有 3 组，……，那么方程 x+y+z＝10 的正整数解得组数是（ A．34 B．35 C．36 3. 已知关于 x、y 的二元一次方程组 A．﹣112 ） D．37 中 x＝﹣14，则 k 的值为（ B．12 C．﹣13 ） D．3 4. 已知代数式 x2+bx+c，当 x＝1 时，它的值是 2；当 x＝﹣11 时，它的值是 8，则 b，c 的值分别是（ A．﹣13，4 B．﹣12，3 5. 解以下两个方程组，较为简便的是（ C．2，9 ） D．﹣11，2 ） x−1 8 s+6 t=25 {7y=2 { x+5 y=8 17 s−6 t=48 ① ② A. ①② 均用代入法 B. ①② 均用加减法