第二章 实数 【要点梳理】 1.无理数：无限不循环的小数. （1）无理数必须满足“无限”以及“不循环”两个条件； （2）常见的无理数的形式： （3）无理数乘或除以一个不为 0 的有理数结果是无理数，如 2π； （4）无理数与有理数的和差结果都是无理数，如 2-ππ 是无理数； 2.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数 形式. 3.算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为： “”，读作“根号 a”，其中，a 称为被开方数。例如 32=9，那么 9 的算术平方根是 3，即. （1）正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根； （2）如果一个负数的平方等于 a，那么 a 的算术平方根是这个数的相反数； （3）算术平方根等于它本身的数只有 0，1. （4）算术平方根具有双重非负性：①②. 4.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 2 x =a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a 的 平方（也叫二次方根），记做： . （1）性质：①一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；② 0 只有一个平方根，它是 0 本身；③负数 没有平方根. （2）平方根与算术平方根的区别与联系： 定义不同 区 别 个数不同 表示方法不同 联 取值范围不同 具有包含关系 算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等 平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 于 a，即,那么这个正数 x 就叫做 a a，即,那么这个正数 x 就叫做 a 的平 的算术平方根 方根或二次方根 一个正数有两个平方根，它们互为 一个正数的算术平方根只有一个 相反数 非负数 a 的算术平方根表示为 a 非负数 a 的平方根表示为  a 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负数 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 存在条件相同 系 5.开平方是指求一个数 a 的平方根的运算，其中 a 叫做被开方数. （1）开平方时，被开方数 a 必须是非负数（即正数或 0）. （2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3）平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 2 2 6.（ a）与 a 的联系与区别 （ a）2 a2 含义 a 的算术平方根的平方 a 2 的算术平方根 a 的取值范围 运算顺序 运算结果 a≥0 a 为任意数 先开方，后平方 非负数 先开方，后平方 非负数 3 7.立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x ＝a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方 3 根）记为 a ，读作，3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根，0 的立方根是 0. （1）性质：①正数的立方根的正数；② 0 的立方根是 0；③负数的立方根是负数④立方根是它本身的数有 0,1，-π1. 3 3 （2）互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 －a＝－ a . （3）算术平方根、平方根和立方根区别与联系 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 a a 的取值 a≥0 a≥0 a 为任何数 性 正数（一个） 互为相反数（两 正数（一个） 正数 质  a 3 a 个） 0 0 0 0 负数 没有 没有 负数（一个） 开方 求一个数的平方根的运算叫开平方 是本身 0，1 0 求一个数的立方根的运算叫开立方 0，1，-π1 8.无理数的估算：确定的正数 x 的近似值：（1）确定 x 的整数部分：根据平方的概念，把 x 夹在两个连续 整数之间，确定其整数部分；（2）确定 x 的小数部分：以较小整数开始逐次加 0.1（或以较大整数开始 逐次减 0.1），并求其平方确定被估算数的十分位…… 9.用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采 用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等 小数部分. （1）“精确到”与“误差小于”的区别：精确到 1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于 1m，答案在 其值左右 1m 内都符合题意，答案不唯一. （2）比较两个无理数的大小的方法主要有：作差法、乘方法、移动因式于根号内再比较大小、作商法等。 10.实数：有理数和无理数统称为实数. 11.实数分类 （1）按定义分： （2）按正负性分： 12.实数的性质 实数的性质 （1） a 与 b 互为相反数←→a+b＝0. （2）a 与 b 互为倒数←→ab＝1. （3）任何实数的绝对值都是非负数，即｜a｜≥0. （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即｜a｜＝｜－a｜. （5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. （6）0 没有倒数. 13.实数的运算 14.实数与数轴上的点 （1）实数与同上的点的关系：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个眯表 示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的. （2）在数轴上画表示无理数的点：先依据勾股定理，通过构造直角三句不离本行工度为无理数的绝对值 的线段，再以原点为圆心，上述线段长为半径作弧，正无理数向右作，负无理数向左作，弧与数轴的交点， 便是表示无理数的点. 15.实数的大小比较：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于 0，0 大于负数； 正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是 大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小. 16.二次根式：形如的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数. （1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式. （2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于或等于 0，如 －x 2  1 ，因为被开方数小于 0，所以它不是二次根式. 3 （3）根指数是 2，这里的 2 可以省略不写，如 7 不是二次根式，因为它的根指数为是 2. （4）形如 b a (a 0) 的式子也是二次根式，它表示 b 与 a 和乘积，与单项式书写类似，当 b 是带分数 3 1 5 1 5 时，要写成假分数的形式，如 2 不能写成 2 的形式，但像 a  1( a 0) 这样的式子只能称为含有 二次根式的式子，不能称为二次根式. 17.二次根式的性质： （1） ab＝ a  b (a 0，b 0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也 可以对二次根式进行化简. a a ＝ (a 0，b  0) b （2） b 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根. （3）最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式. 【典型例题】 考点一、无理数的概念 22 3 例 1 在 3.14、 12 、 7 、 － 5 、 27 、2π、0.2020020002 这六个数中，无理数有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】3.14、、、0.2020020002 是有理数， 、、2π 是无理数，无理数的个数是 3. 考点二、无理数的估算 例 2 估计的值在 A．1 到 2 之间 【答案】B 【解析】∵34， ∴4141＜5， B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间 ∴41的值在 2 到 3 之间． 例 3 若 a 是 1 的整数部分，b 是 5 的小数部分，则 a（b）的值为 A．6 B．4 C．9 D．3 【答案】B 【解析】∵21＜3， ∴41a＝2， 又∵7＜58， ∴415 的整数部分为 7 ∴41b＝572； ∴41a（b）＝2×（2）＝4． 考点三、实数大小的比较 例 4 已知 a，b，c＝3，则 a、b、c 三个数的大小关系是 A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 【答案】B 【解析】∵a，b，c＝3， ∴41， ， ， ∵， ∴41， ∵3， ∴41， ∴41， ∴41b＞a＞c． 考点四、二次根式的概念 例 5 下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的个数是 A．3 个 B．4 个 C．5 个 【答案】B 【解析】，，，，，，中，一定是二次根式的是： ，，，共 4 个． D．7 个 故选：B． 考点五 二次根式有意义条件 例 6 已知，则 a+b 的立方根是 ． 【答案】﹣2 【解析】由题意，得 b2＝4 且 b﹣2≠0． 所以 b＝﹣2， 所以 a＝﹣6． 所以 a+b＝﹣8． 所以 2． 故答案是：﹣2． 考点 6 二次根式的性质与化简 例 7 若 1﹣2x，则 x 的取值范围是 ． 【答案】x 【解析】已知等式变形得：|2x﹣1|＝1﹣2x， ∴412x﹣1≤0， 解得：x． 故答案为：x． 考点 7 实数的运算 例 8（1）计算：（1） （2）解方程：3（x﹣2）2＝27 【解析】（1）原式＝42 ＝4； （2）3（x﹣2）2＝27 （x﹣2）2＝9， 则 x﹣2＝±3， 解得：x＝﹣1 或 5． 考点 8 平方根与立方根的性质应用 例 9 已知一个正数 m 的平方根是 2a﹣1 与 2﹣a，a+b+2 立方根是 2，求 m+b 的平方根． 【解析】∵2a﹣1 与 2﹣a 是正数 m 的平方根 ∴41（2a﹣1）+（2﹣a）＝0， ∴41a＝﹣1； ∴41m＝（﹣1）2＝1； ∵a+b+2 立方根是 2， ∴41a+b+2＝8， ∴41b＝7； ∴41m+b＝1+7＝8． 所以 m+b 的平方根是±2． 例 10 已知是 m+3 的算术平方根是 n﹣2 的立方根，试求： （1）m 和 n 的值； （2）（2）A﹣B 的值． 【解析】（1）∵A 是 m+3 的算术平方根，B 是 n﹣2 的立方根， ∴41m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3， 解得：m＝6，n＝3， （2）∵m＝6，n＝3， ∴41A3，B1， ∴41A﹣B＝3﹣1＝2． 考点 9 二次根式的化简求值 例 11 已知，，分别求下列代数式的值； （1）x2+y2； （2）． 【解析】（1）∵1，1， ∴41x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1， ∴41