分式的混合运算，整数指数幂（基础） 【学习目标】 1．掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律． 2．能正确进行分式的四则运算． 3. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 4．掌握科学记数法． 【要点梳理】 要点一、分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算 乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的 顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法 则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算 括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分 配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 要点二、零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即 a 0 1 a 0 .   要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂 .即 a m a n a m  n （ a 0 ， m 、 n 为整数）当 m n 时，得到 a 0 1 a 0  . 要点三、负整数指数幂 任何不等于零的数的  n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数，即 a n  1 （ a ≠0， n 是正整数）. an 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的 幂的运算性质仍然成立. 要点诠释： a  n a 0 是 n 的倒数， a 可以是不等于 0 的数，也可以是不等于 0 的代   a 5 数式.例如  2 xy   1  1 （ xy 0 ），  a  b   2 xy 1  a  b 5 （ a  b 0 ）. 要点四、科学记数法的一般形式 （ 1 ） 把 一 个 绝 对 值 大 于 10 的 数 表 示 成 a 10n 的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10 （2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n 的形式，其中 是 n 正整数， 1 | a | 10 . 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】 类型一、分式的混合运算 1、计算：（1） 1 1   1   ； 2 a  b  a b a  b  2 1 1  1 ．    2 2  a b a  b  a  b （2）  【思路点拨】（1）先计算括号里的加减法，然后将除法转化为乘法进行计算；（2）先将 除法转化为乘法，然后用乘法分配律简化运算． 【答案与解析】 解：（1） 1 1   1    2 a  b  a b a  b  2    1 a b a b   (a  b)(a  b)  (a  b)(a  b) ( a  b)(a  b)   1 2a  (a  b)(a  b) (a  b)(a  b)  1 (a  b)(a  b) 1 ．   (a  b)(a  b) 2a 2a 1 1  1    2 2  a b a  b  a  b （2）  1  1  1     a  b a  b  (a  b)(a  b) 1   1     (a  b)(a  b)  a b a  b  1 1  (a  b)(a  b)   (a  b)(a  b) a b a b a  b  a  b 2a ．  【总结升华】解决此类题的方法：首先观察混合运算的特点，当分式的加减法运算作为除 式时，一定要先运算加减法，再参与乘除运算，当分式的加减运算作为因式或被除式时， 可把乘除法统一为乘法并根据特点恰当运用运算律简化运算． 2、（2015•裕华区模拟）化简：（ ﹣x+1）÷ ． 【思路点拨】将括号内部分通分相减，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可． 【答案与解析】 解：原式=[ ﹣（x﹣1）]• =[ ﹣ = • = ． ]• 【总结升华】本题考查了分式的混合运算，将括号中的﹣x+1 变形为-（x-1），并看成分 母是 1 的分数是解决此类问题的一般方法，熟悉约分、通分、因式分解是解题的关键． 类型二、负指数次幂的运算 2 2  ；（2） 2  3  1 3 a b (a b) (ab)  1 ．   3 3、计算：（1）   【思路点拨】根据负整数指数幂的意义将负整数指数幂转化为正整数指数幂，然后计算． 【答案与解析】  2 解：（1）   3    （2） 2  1  2    3 2  1 9  4 4； 9 a 2b  3 (a  1b)3 (ab)  1 a 2b  3  a  3b3  ab a 0b b 【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三： 【变式 1】计算： 4 1 2     2 1 2 3 2  (  3.14)0 ．  2 5 【答案】 解： 4 1 2 5     2  1 2 3 2  (  3.14)0  2  1 1 1 1 1 1  24   3 2  1   16   2  1 5 2 2 2 32 2 8 ．  1 1 5   16  1 17 32 8 32 【变式 2】（2016 春•吉安校级月考）计算：（﹣•吉安校级月考）计算：（﹣2016）0﹣2﹣2﹣（﹣ ）﹣3﹣（﹣3）2 【答案】 解：原式=1﹣ +8﹣9=﹣ ． 类型三、科学记数法 4、用科学记数法表示下列各数： （1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067 【答案与解析】 解：（1）0.00001＝ 10 5 （2）0.000000203＝ （3）-0.000135＝ （4）0.00067＝ 【总结升华】注意在 ； 2.03 10 7  1.35 10 4 6.7 10 4 a 10 n ； ； . 中 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个 n 数（包括小数点前边的零）． 举一反三： 【变式】纳米是一个极小的长度单位，1 纳米＝ 10 9 米，已知某种细菌的直径为 4500 纳 米，则用科学记数法表示该细菌的直径为（ ）． A． 4.5 10 5 米 B． 4.5 10 6 米 C． 4.5 10 7 米 D．以上都不对 【答案】B； 提示：4500 纳米＝ 4.5 103 纳米 4.5 103 10 9 米 4.5 10 6 米．