轴对称全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ① 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ② 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； ③ 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点 在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成 一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反 过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点， 再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线 段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2.用坐标表示轴对称 点（ x , y ）关于 x 轴对称的点的坐标为（ x ,－ y ）；点（ x , y ）关于 y 轴对称的点 的坐标为（－ x , y ）；点（ x , y ）关于原点对称的点的坐标为（－ x ,－ y ）. 要点三、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；“等边对等角”； ② 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三 线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等边对等角”； “ 等角对等 边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°. （3）等边三角形的判定： ① 三条边都相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】 类型一、轴对称的判断与应用 1、如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ 【答案与解析】该算式的情况是：120＋85＝205 【总结升华】从镜子里看物体——左右相反 举一反三： 【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（”应是图中的（ 【答案】B ； 提示：从水中看物体——上下颠倒 ）. 2、如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点，A、B是桌面上的两个球， 怎样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出 A球 经过的路线，并写出作法． 【答案与解析】 解：作点 A 关于直线 CF 对称的点 G，连接 BG 交 CF 于点 P，则点 P 即“等边对等角”；为 A球撞击桌面边 缘 CF 的位置，A球经过的路线如下图. 【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把 AP 转化成了线段 GP，通过找 A 点的对称点， 从而确定点 P 的位置. 举一反三： 【变式】（2016 春•深圳校级期中）如图，•深圳校级期中）如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10． 在 OA 上有一点 Q，OB 上有一点 R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 【答案】A； C．20 提示：根据轴对称的性质， D．30 QE QP, RP RF ，△PQF 的周长等于 EF . 3、如图，ΔABCABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），点 B 的坐 标为 （3，1），如果要使 ΔABCABD 与 ΔABCABC 全等，求点 D 的坐标． 【思路点拨】关于 AB 直线对称，且与△ABC 全等的△ABD 有一个，此时的△ABC 与 △ABD 绕着 AB 的中点旋转 180°，又可以找到两个与△ABC 全等的三角形. 【答案与解析】 解：满足条件的点 D 的坐标有 3 个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）. 【总结升华】有一条边相同的全等三角形，可以通过轴对称和旋转的方法找出，注意不要 漏解. 举一反三： 【 变 式 】 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， △ ABC 关 于 直 线 y ＝ 1 轴 对 称 ， 已 知 点 A 坐 标 是 （4，4），则点 B 的坐标是（ ） A.（4，－4） B.（－4，2） C.（4，－2） D.（－2，4） 【答案】C； 提示：点 A 和点 B 是关于直线 y ＝1 对称的对应点，它们到 y ＝1 的距离相等是 3 个单位长度，所以点 B 的坐标是（4，－2）． 类型二、等腰三角形的性质与判定 2 x  y 3 ，则此等腰三角形 3x  2 y 8 4、已知：一等腰三角形的两边长 x ， y 满足方程组  的周长为（ ） A.5 B.4 C.3 D.5 或 4 【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所 以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形. 【答案】A； 【解析】 解：解方程组 2 x  y 3 得  x 2 ，  3x  2 y 8   y 1 当腰为 1，2 为底时，1＋1＝2，不能构成三角形， 当腰为 2，1 为底时，能构成三角形，周长为 2＋2＋1＝5 【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周 长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不 符合题意的舍去． 举一反三： 【变式】已知等腰三角形的一个内角为 70°，则另两个内角的度数是（ ） A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或 70°，40° D.以上都不对 【答案】C； 提示：当 70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2 ＝55°，当 70°为底角时,另外一个底角也是 70°,顶角是 180°－140°＝40°． 5、（2015 秋•淮安校级期末）如图：•淮安校级期末）如图： （1）P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q， 交 CA 的延长线于点 R．请观察 AR 与 AQ，它们有何关系？并证明你的猜想． （2）如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线，按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时， （1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明． 【思路点拨】（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不 难推出∠PRC 与∠AQR 的关系； （2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP 与∠PRC 的关系． 【答案与解析】 解：（1）AR=AQ，理由如下： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵RP⊥BC， ∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°， ∴∠BQP=∠PRC． ∵∠BQP=∠AQR， ∴∠PRC=∠AQR， ∴AR=AQ； （2）猜想仍然成立．证明如下： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C． ∵∠ABC=∠PBQ， ∴∠PBQ=∠C， ∵RP⊥BC， ∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°， ∴∠BQP=∠PRC， ∴AR=AQ． 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及判定；题中有两个类别的特殊三角形，等腰 三角形是两个底角相等，直角三角形是两个锐角互余，还有对顶角相等的条件，为角的关 系转化提供依据． 举一反三： 【变式 1】（2016·常州）如图，已知△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是高，BD 与 CE 相 交于点 O． （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数. 【答案】 （1）证明：∵AB=AC． ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE 是高， ∴∠DBC＝∠ECB， ∴OB=OC （2）∵∠ABC＝50°，AB=AC， ∴∠A=180°-2×50°=80°， ∴∠BOC=180°-80°=100°. 【变式 2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC 的边 AB、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是 BC 的中点，请你探究线段 DE 与 AM 之间的数量关系． 【答案】ED＝2AM 解：连接 DE， ∵∠BAC＝90°，M 是 BC 的中点 ∴AM＝BM＝MC＝ 1 BC 2 ∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD ∴△ABC≌△AED ∴ED＝BC ∴ED＝2AM 类型三、等边三角形的性质与判定 6、如图，设 D 为等边△ABC 内一点，且 AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求 ∠BPD 的度数. 【答案与解析】 解：如图，连接 CD， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，又 AD＝BD，DC 是公共边， ∴△BDC≌△ADC（SSS）， ∴∠DCB＝∠DCA＝ 1 ×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC， 2 ∵∠DBP＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠DBP， 又已知 BP＝AB， ∴BP＝AC， ∴△DBP≌△DAC（SAS）， ∴∠P＝∠ACD＝30°． 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角 形 全等时，关键是选择恰当的判定条件