全等三角形判定二（ASA，AAS）（基础） 【学习目标】 1．理解和掌握全等三角形判定方法 3——“角边角”，判定方法 4——“角角边”；能运用它 们判定两个三角形全等． 2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定 3——“角边角” 全等三角形判定 3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或““角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠ A ' ，AB＝ A ' B ' ，∠B＝∠ B ' ，则△ABC≌△ A ' B ' C ' . 要点二、全等三角形判定 4——“角角边” 1.全等三角形判定 4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ “ 角角边 ” 或 “AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就 可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者 是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A ＝∠A，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可 能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定 3——“角边角” 1、已知：如图，E，F 在 AC 上，AD∥CB 且 AD＝CB，∠D＝∠B． 求证：AE＝CF． 【答案与解析】 证明：∵AD∥CB ∴∠A＝∠C 在△ADF 与△CBE 中 A C   AD CB D B  ∴△ADF≌△CBE （ASA） ∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF 故得：AE＝CF 【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角 (线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出 所要证的角(线段)相等． 举一反三： 【变式】（2014•青山区模拟）如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证： △ADF≌△CBE． 【答案】 证明：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即 AF=CE； ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C； 在△ADF 与△CBE 中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）． 类型二、全等三角形的判定 4——“角角边” 2、（2015•长乐市一模）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分 别为 D，E．求证：△ACD≌△CBE． 【思路点拨】根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，然后根据同角的余角相等求出 ∠B=∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE． 【答案与解析】 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC=∠E=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∵∠B+∠BCE=90°， ∴∠B=∠ACD， 在△BEC 和△CDA 中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）． 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，求出∠B=∠ACD 是证明三角形全等的关键． 举一反三： 【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE. 求证：BE＝CF. 【答案】 证明：∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD＝CD ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△BED 和△CFD 中 BED CFD  BDE CDF（对顶角相等）  BD CD  ∴△BED≌△CFD（AAS） ∴BE＝CF 3、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，AB∥DC，AB＝DC． （1）求证：AC 与 BD 互相平分； （2）若过 O 点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点， 求证：OE＝OF. 【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得 AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO 或△BEO≌△DFO 【答案与解析】 证明：∵AB∥DC ∴∠Ａ＝∠Ｃ 在△ABO 与△CDO 中 A＝C  AOB＝COD (对顶角相等）  AB=CD  ∴△ABO≌△CDO（AAS） ∴AO＝CO ，BO=DO 在△AEO 和△CFO 中 A＝C  AO=CO AOE＝COF (对顶角相等）  ∴△AEO≌△CFO（ASA） ∴OE＝OF. 【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是 本题的关键. 类型三、全等三角形判定的实际应用 4、（2014 春•通川区校级期末）要测量河两岸相对两点•通川区校级期末）要测量河两岸相对两点 A，B 间的距离，先在过点 B 的 AB 的垂线上取两点 C、D，使 CD=BC，再在过点 D 的 l 的垂线上取点 E，使 A、C、E 三点在一条直线上，这时 ED 的长就是 A，B 两点间的距离．你知道为什么吗？ 说说你的理由． 【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AB=DE，从而得解． 【答案与解析】 解：∵AB⊥l，CD⊥l， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△ABC 和△EDC 中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB=DE， 即 ED 的长就是 A，B 两点间的距离． 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等， 寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.