与三角形有关的角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ① 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ② 已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③ 求一个三角形中各角之间的关系． 2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来， 有两个角互余的三角形是直角三角形. 要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为 45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是 45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ ACD 是 △ABC 的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征： ① 顶点在三角形的一个顶点上； ② 一条边是三角形的一边； ③ 另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每 个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常 使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360°. 要 点诠 释： 因 为三 角形 的每 个外 角与 它相 邻的 内角 是邻 补角 ，由 三角 形的 内角 和是 180°，可推出三角形的三个外角和是 360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为 180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 证法 1：如图 1 所示，延长 BC 到 E，作 CD∥AB．因为 AB∥CD（已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 证法 2：如图 2 所示，在 BC 边上任取一点 D，作 DE∥AB，交 AC 于 E，DF∥AC，交 AB 于点 F． 因为 DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为 DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）． 证法 3：如图 3 所示，过 A 点任作直线 ，过 B 点作 l1 l2 ∥ l1 ，过 C 点作 l3 ∥ l1 ， 因为 ∥ （已作）． l1 l3 所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4． 又 ∥ l1 l2 （已作）， 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）． 又∠2+∠3=∠ACB， 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）． 证法 4：如图 4，将 ΔABCABC 的三个内角剪下，拼成以 C 为顶点的平角. 证法 5：如图 5－1 和图 5－2，在图 5－1 中作∠1＝∠A，得 CD∥AB，有∠2＝∠B；在图 5－2 中过 A 作 MN∥BC 有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角. 【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平 行线的性质. 2.在△ABC 中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B 和∠C 的度数． 【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等 于 180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B 和∠C 的度数． 【答案与解析】 解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°， 知∠C＝100°． 又∵ ∠C＝2∠B， ∴ ∠B＝50°． ∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°． 【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝ x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x 建立方程求解． 举一反三： 【变式】（2015 春•安岳县期末）如图，在△•安岳县期末）如图，在△ABC 中，∠A=50°，E 是△ABC 内一点， ∠BEC=150°，∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点 D，则∠BDC 的度数为多少？ 【答案】100°. 解：∵△ABC 中∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°50°=130°， ∵△BCE 中∠E=150°， ∴∠EBC+∠ECB=180°﹣50°=130°150°=30°， ∴∠ABE+∠ACE=130°﹣50°=130°30°=100°， ∵∠ABE 的平分线与∠ACE 的平分线相交于点 D， ∴∠DBE+∠DCE= （∠ABE+∠ACE）= ×100°=50°， ∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°， ∴∠BDC=180°﹣50°=130°80°=100°． 类型二、三角形的外角 3.（1）如图，AB 和 CD 交于点 O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ． （2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C． 【答案与解析】 解：（1）如图，在△AOC 中，∠COB 是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋ ∠C， 同理，在△BOD 中，∠COB＝∠B＋∠D， 所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D． （2）如图，延长线段 BD 交线段于点 E, 在△ABE 中，∠BEC＝∠A＋∠B ①； 在△DCE 中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②， 将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证． 【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D； （2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C． 举一反三： 【变式 1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O，∠A＝40°，∠AOB ＝75°，则∠C 等于（ ）. A、40° 【答案】B. B、65° C、75° D、115° 【变式 2】如图，在△ABC 中，∠A＝70°，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，则∠BOC 的度数为 . 【答案】125°. 类型三、三角形的内角外角综合 4.（2015 春•安岳县期末）如图，在△•江阴市校级月考）已知如图∠xOy=90°，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反 向延长线与∠OAB 的平分线相交于点 C，当点 A，B 分别在射线 Ox，Oy 上移动时，试问 ∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点 A，B 的移动而变化， 请求出变化范围． 【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解． 【答案与解析】 解：∠C 的大小保持不变．理由： ∵∠ABY=90°+∠OAB，AC 平分∠OAB，BE 平分∠ABY， ∴∠ABE= ∠ABY= （90°+∠OAB）=45°+ ∠OAB， 即∠ABE=45°+∠CAB， 又∵∠ABE=∠C+∠CAB， ∴∠C=45°， 故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持 45°． 【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是 180°”是解 决问题的关键． 举一反三： 【变式】如图所示，已知△ ABC 中，P 为内角平分线 AD、BE、CF 的交点，过点 P 作 PG⊥BC 于 G，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由． 【答案】 解：∠BPD＝∠CPG．理由如下： ∵ AD、BE、CF 分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB 的角平分线， 1 1 1 ∠ABC，∠2＝ ∠BAC，∠3＝ ∠ACB． 2 2 2 1 ∴ ∠1+∠2+∠3＝ (∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°． 2 ∴ ∠1＝ 又∵ ∠4＝∠1+∠2， ∴ ∠4+∠3＝90°． 又∵ PG⊥BC， ∴ ∠3+∠5＝90°． ∴ ∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．