与三角形有关的线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示： 三角形用符号“△”表示，顶点为”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△“△”表示，顶点为ABC”， 读 作“△ “ 三 角 形 ABC” ， 注 意 单 独 的 △”表示，顶点为 没 有 意 义 ； △”表示，顶点为 ABC 的 三 边 可 以 用 大 写 字 母 AB 、 BC 、 AC 来 表 示 ， 也 可 以 用 小 写 字 母 a 、 b 、 c 来 表 示 ， 边 BC 用 a 表 示 ， 边 AC、AB 分别用 b、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 直角三角形  三角形  锐角三角形 斜三角形 钝角三角形   要点诠释： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ① 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ② 等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最 长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两 边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作“△垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是 ΔABCABC 的高，或 AD 是 ΔABCABC 的 BC 边上的高，或 AD⊥BC 于 D，或 ∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD 是 ΔABCABC 的高  ∠ADB＝∠ADC＝90°(或 AD⊥BC 于 D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是 ΔABCABC 的中线或 AD 是 ΔABCABC 的 BC 边上的中线或 BD＝CD＝ 1 BC. 2 要点诠释： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角 形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD 是 ΔABCABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点 D 在 BC 上. 注意：AD 是 ΔABCABC 的角平分线  ∠BAD＝∠DAC＝ 1 ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝ 2 2∠DAC) . 要点诠释： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 要点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的 稳定性. 要点诠释： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构， 它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏 门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它 的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时 我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使 它不变形． 【典型例题】 类型一、三角形的定义及表示 1．如图所示． (1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段 AE 是哪些三角形的边? (3)∠B 是哪些三角形的角? 【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找 出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了 A、E 再找一个第三点， 使这点不在 AE 上，便可得到以 AE 为边的三角形；(3)问的突破口是∠B 一定是以 B 为一 个顶点组成的三角形中． 【答案与解析】 解 ： (1) 图 中 共 有 6 个 三 角 形 ， 它 们 是 △”表示，顶点为ABD，△”表示，顶点为ABE，△”表示，顶点为ABC，△”表示，顶点为ADE，△”表示，顶点为ADC，△”表示，顶点为AEC． (2)线段 AE 分别为△”表示，顶点为ABE，△”表示，顶点为ADE，△”表示，顶点为ACE 的边． (3)∠B 分别为△”表示，顶点为ABD，△”表示，顶点为ABE，△”表示，顶点为ABC 的角． 【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏． 举一反三： 【变式】如图，，以 A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形． 【答案】3 个,分别是△”表示，顶点为EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系 2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( ) 【答案】D. 【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较 短的两边之和是否大于第三边．A、B、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边． 故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形． 【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边； ②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角 形． 举一反三： 【变式】判断下列三条线段能否构成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能. 3.若三角形的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是_______. 【答案】 5  c  9 【解析】三角形的两边长分别是 2 和 7, 则第三边长 c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,c<c<2+7,2+7, 即 5<c<2+7,c<c<2+7,9． 【总结升华】三角形的两边 a、b，那么第三边 c 的取值范围是│a-b│<c<2+7,c<c<2+7,a+b. 举一反三： 【变式】（2015 春•盱眙县期中）四边形•盱眙县期中）四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交点 O．求证： AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）． 【答案】证明：∵在△”表示，顶点为OAB 中 OA+OB＞AB 在△”表示，顶点为OAD 中有 OA+OD＞AD， 在△”表示，顶点为ODC 中有 OD+OC＞CD， 在△”表示，顶点为OBC 中有 OB+OC＞BC， ∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA 即 2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA， 即 AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）． 类型三、三角形中重要线段 4. （2016 春•盱眙县期中）四边形•江阴市月考）如图，AD⊥BC 于点 D，GC⊥BC 于点 C，CF⊥AB 于点 F，下列关于高的说法中错误的是（ A．△”表示，顶点为ABC 中，AD 是 BC 边上的高 C．△”表示，顶点为ABC 中，GC 是 BC 边上的高 ） B．△”表示，顶点为GBC 中，CF 是 BG 边上的高 D．△”表示，顶点为GBC 中，GC 是 BC 边上的高 【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后 利用排除法求解． 【答案与解析】 解：A、△”表示，顶点为ABC 中，AD 是 BC 边上的高正确，故本选项错误； B、△”表示，顶点为GBC 中，CF 是 BG 边上的高正确，故本选项错误； C、△”表示，顶点为ABC 中，GC 是 BC 边上的高错误，故本选项正确； D、△”表示，顶点为GBC 中，GC 是 BC 边上的高正确，故本选项错误． 故选 C． 【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作“△垂线，垂 足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 举一反三： 【变式】（2015•长沙）如图，过△”表示，顶点为ABC 的顶点 A，作“△ BC 边上的高，以下作“△法正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A． 5.如图所示，CD 为△”表示，顶点为ABC 的 AB 边上的中线，△”表示，顶点为BCD 的周长比△”表示，顶点为ACD 的周长大 3cm，BC＝8cm，求边 AC 的长． 【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：① AD＝BD，②△”表示，顶点为BCD 的周长比 △”表示，顶点为ACD 的周长大 3． 【答案与解析】 解：依题意：△”表示，顶点为BCD 的周长比△”表示，顶点为ACD 的周长大 3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△”表示，顶点为ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD＝BD，即 BC-AC＝3． 又∵ BC＝8，∴ AC＝5． 答：AC 的