新版北师大版八年级数学上册第 2 章《实数》同步练习及答案 —2.7 二次根式 专题一 与二次根式有关的规律探究题 与二次根式有关的规律探究题 1.将 1、 2 、 3 、 6 按如图所示的方式排列. 若规定（m，n）表示第表示第 m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）表示第与（21,2）表示第表示的两数之 积是（ ）表示第 A.1 B.2 C. 2 3 D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 2 2 2 ，验证： 2 8 22 2 2． 2 2   2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ，验证： 3 27 32 3 3． 3 3   3 8 8 8 8 8 8 （1）表示第按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4 4 的变形结果并进行验证； 15 （2）表示第针对上述各式反映的规律，写出用 a （ a 为任意自然数，且 a ≥ 2 ）表示第表示的等式， 并给出验证； （3）表示第针对三次根式及 n 次根式（ n 为任意自然数，且 n ≥ 2 ）表示第,有无上述类似的变形， 如果有，写出用 a （ a 为任意自然数，且 a ≥ 2 ）表示第表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一 与二次根式有关的规律探究题些 含根号的式子可以写成另一 与二次根式有关的规律探究题 个式子的平方，如 3+2 ，善于思考的小明进行了以下探索： = 2 2 （1  2）表示第 设 a+b （ 其 中 a 、 b 、 m 、 n 均 为 正 整 数 ）表示第 , 则 有 a+b = 2 （m  n 2）表示第2 =m2+2n2+2mn 2 2 , ∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一 与二次根式有关的规律探究题种把部分 a+b 2 的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）表示第当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b 表示 a、b，得：a= ，b= ； 3 = (m  n 3 ) 2 来源：http://www.bcjy123.com/ti ku/ （2）表示第利用所探索的结论，找一 与二次根式有关的规律探究题组正整数 a、b、m、n 填空： ＋ =（ （3）表示第若 a+4 3 3 = A. -a- 2 (m  n 3 ) 2 ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值. a B. a +2 的结果是（ a2 - -a- 2 C. 5.如图，实数 a．b 在数轴上的位置， 化简： a2  + ）表示第 2 ； 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式 ,用含 m、n 的式子分别 b 2  ( a  b) 2 ． ）表示第 a- 2 D. - a- 2 3 答案： 1.D 【解析】解析】】 从图示中知道，（4，2）表示第所表示的数是 6 .∵前 20 排共有 1+2+3+4+ …+20=210 个数，∴（21，2）表示第表示的是第 210+2=212 个数.∵这些数字按照 1、 2 、 3 、 6 的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示第表示的数是 （4，2）表示第与（21，2）表示第表示的两数之积是 2.解：（1）表示第 （2）表示第 a 验证： 验证： a 3 . .∴ 来源：http://www.bcjy123.com/tiku/ 4 4 ．验证： 4 64 42 4 4 ． 4 4   4 15 15 15 15 15 15 a a （ a 为任意自然数，且 ）表示第． a≥ 2 a 2 a 1 a 1 2 a （3）表示第 3 n 4 6  6 6 6 a a3  a  a a3 a ．   a 2 2 2 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a a （ a 为任意自然数，且 ）表示第． a≥ 2 a 3 3 a 1 a 1 3 3 3 3 a a4  a  a a4 a ． a 3   a 3 3 3 a 1 a 1 a 1 a 1 n a a a （ a 为任意自然数，且 ）表示第． a≥ 2 a n n a 1 a 1 验证： n 3. 解：(1) (3) ∵ a a a n 1  a  a n a n 1 a . n   n a n n n n a 1 a 1 a 1 a 1 m 2  3n 2 2mn (2)21 12 3 2 a m 2  3n 2 ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2 或 m=2,n=1, ∴a=13 或 a=7. 4.B 【解析】 解 析】 】 若 二 次 根 式 有 意 义 ， 则  a2 ≥ 0 ， -a-2≥0 ， 解 得 a≤-2 ， ∴ 原 式 = a2 a - a - 2 = - - a - 2 ．故选 B． -a 5.解：由图知，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0， ∴ a2  b 2  ( a  b) 2 =|a|﹣|b|+|a﹣b|=（﹣a）表示第﹣b+（b﹣a）表示第=﹣2a．