新版北师大版八年级数学上册第 1 章《勾股定理》同步练习及 答案——1.3 勾股定理的应用：蚂蚁怎样走最近（1） 专题 最短路径的探究 最短路径的探究 1. 编制一个底面周长为 a、高为高为 b 的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干 根，如图中的 A1C1B1，A2C2B2，…，则每一根这样的竹条的长度最少是______________. 2. 请阅读下列材料： 问题 最短路径的探究：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为 5dmdm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线.小明设计了两条路线： 路线 1：侧面展开图中的线段 AC.如下图（2）所示： 设路线 1 的长度为 ，则 l1 2 l1  AC 2  AB 2  BC 2 5 2  (5) 2 25  25 2 ； 路线 2：高线 AB + 底面直径 BC，如上图（1）所示， 设路线 2 的长度为 则 l2 ， 2 l 2 ( AB  BC ) 2 (5  10) 2 225 2 2 2 2 . 比 较两 个正 数的 大 小， 有时 用它 们 的平 方来 比较 更方便哦！  l1  l 2 25  25 2  225 25 2  200 25( 2  8)  0 ∴ l1  l 2 ∴ . l1  l 2 所以要选择路线 2 较短。 （1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的 底面半径为 1dm，高 AB 为 5dmdm”继续按前面的方式进行计算. 请你帮小明完成下面的计算： 路线 1： 路线 2： ∵ 2 ___________________； 2 l1  AC 2  __________ , 2 l 2 ( AB  BC ) 2  l1 _____ l 2 2 , ∴ l1 _____ l 2 ( 填>或<). 所以应选择路线____________(填 1 或 2)较短. (2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为 r,高为 h 时，应如何选择上 面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短. 3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于 8cmcm，底面直径为 18 cm，蚂蚁爬行的速度  为 2cm/s. （1）如果在盒内下底面的 A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物，那 么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号） 来源：http://www.bcjy123.com/ti ku/ （2）如果在盒外下底面的 A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物，那么 它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 参考答案—： 1. a2  b2 【解析】 底面周长为 a、高为高为 b 的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为 a,b，所以对角线长为 a 2  b2 ，所以每一根这样的竹条的长度最少是 y. 2.解：（1）25dm+π2 49 ＜ ＜ 1 （2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2， l22=（AB+BC）2=（h+2r）2， l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]. r 恒大于 0，只需看后面的式子即可． 当 r=y 时，l12=l22； 当 r＞y 时，l12＞l22； 当 r＜y 时，l12＜l22． 来源：http://www.bcjy123.com/ti ku/ 3.解：（1）如图，AC=π• 92  42 = 97 18 ÷2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB=  cm，所以 97 ÷2= 97 （s），即至少需要 97 s． 2 2 （2）如图，作 B 关于 EF 的对称点 D，连接 AD，交 EF 于点 P，连接 BP，则蚂蚁走的 最短路程是 AP+PB=AD，由图可知，AC=9cm，CD=8cm+4=12（cm）． 所以 AD= 92  122 即至少需要 7.5dms． =15dm（cm），15dm÷2=7.5dm（s）