新版北师大版八年级数学上册第 1 章《勾股定理》单元测 试试卷及答案（3） 本检测题满分：100 分，时间：90 分钟 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 在△ 中， ， ， ，则该三角形为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边长扩大 到原来 的（ ） A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D. 4 倍 3.下列说法中正确的是（ ） A.已知 a, b, c 是三角形的三边，则 a 2  b 2 c 2 B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C.在 Rt△ 中，∠ °，所以 a 2  b 2 c 2 D.在 Rt△ 中，∠ °，所以 a 2  b 2 c 2 4.如图，已知正方形 的面积为 144，正方形 的面积为 169 时，那么正方形 的面积为（ ） A.313 B.144 C.169 D.25 中，∠ 5.如图，在 Rt△ A.6 cm °， B.8.5 cm C. cm， 60 cm 13 D. cm，则其斜边上的高为（ ） 30 cm 13 6.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为 C.三边长之比为 D.三内角之比为 中，∠ 7.如图，在△ ，则 A.6 B.7 ， °， 的长为 （ C.8 ） D.9 ，点 在 上，且 ， 8.如图，一圆柱 高 8 cm，底面半径为 短路程是（ A.6 cm ） B.8 cm C.10 cm A.∠ 与∠ ，则这个 三 ） B.直角三角形 中，三边长满足 10.在△ D.12 cm 满足 9 .如果一个三角形的三边长 角形一定是（ A.锐角三角形 6 cm，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最 π b 2  a 2 c 2 C.钝角三角形 ，则互余的一对角是（ B.∠ 与∠ D.等腰三角形 ） C.∠ 与∠ D.∠ 、∠ 、∠ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11.已知两条线 段的长分别为 5 cm、12 cm，当第三条线段长为________时，这三条线段可 以构成一个直角三角形. 12.在△ 中， 13.在△ 中，若三边长分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形 cm， cm， ⊥ 于点 ，则 _______. A 拼 D 成的长方形的面积为__________. 14. 如图，在 Rt△ 且 ， 中， ，则点 到 ， 平分 ，交 的距离是________. 于点 ， 15.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是 17 和 8，则第三个数 是 . 16. 若一个直角三角形的一条直角边长是 C B 第 14 题图 ，另一条直角边长比斜 边 长短 ，则该直角三角形的斜边长为 ________. 17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的 边长为 7 cm，则正方形 的面积之和为___________cm2 18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一“捷径”，在花圃内走“捷径”，在花圃内走出了一出了一 条“路”，他们仅仅少走“捷径”，在花圃内走出了一了________步路（假设 2 步为 1 m），却踩伤了花草. 三、解答题（共 46 分） 19.（6 分）若△ 三边长满足下列条件，判断△ 是不是直角三角形，若是，请说明 哪个角是直角. 3 4 （1） BC  , （2） AC 1 ; a n 2  1, b 2n, c n 2  1 (n  1) 20.（6 分） 在△ 理，则 猜想 5 AB  , 4 中， a 2  b 2 c 2 .若△ ， b ， . ．若 C 90 ，如图①，根据勾股定 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试 a 2  b 2 与 c 2 的关系，并证明你的结论． 21.（6 分）若三角形的三个内角的比是 ，最短边长为 1，最长边长 为 2. 求：（1）这个三角形各内角的度数； （2）另外一条边长的平方. 22.（7 分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底 部 8 m 处，已知旗杆原长 16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 23.（7 分）观察下表： 列举 猜想 3，4，5 5，12，13 7，24，25 …… …… 请你结合该表格 及相关知识，求出 24.（7 分）如图，折叠长方形的一边 cm，求：（1） 的值. ，使点 落在 的长；（2） 25. （ 7 分 ） 如 图 ， 长 方 体 边上的点 处， cm， 的长. 中， ， ，一 只蚂蚁从 点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂 蚁怎样走“捷径”，在花圃内走出了一最短，最短路程是多少？ 参考答案 1. B 解析：在△ 中，由 ， ， 定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选 B． ，可推出 .由勾股 2.B 解析：设原直角三角形的三边长分别是 ，且 的斜边长为 ，则扩大后的三角形 ，即斜边长扩大到原来的 2 倍，故 选 B. 3.C 解析：A.不确定三角形是不是直角三角 形，故 A 选项错误；B.不确定第三边是否为斜 边，故 B 选项错误；C.∠C=90°，所以其对边为斜边，故 C 选项正确；D.∠B=90°，所以 ，故 D 选项错误. 4.D 解析：设三个正方形的边长依次为 形，所以 ，故 ，由于三个正方形的三边组成一个直角三角 ，即 . 5.C 解析：由勾股定理可知 1 2 cm，再由三角形的面积公式，有 AC BC 60  . AB 13 ，得 6. D 解 析：在 A 选项中，求出三角形的三个内角分别是 30°，60°，90°；在 B，C 选项中， 都符合勾股定理的条件，所以 A，B，C 选项中都是直角三角形.在 D 选项中，求出三角形 的三个角分别是 所以不是直角三角形，故选 D． 7.C 解 析 ： 因 为 Rt△ 中， ，所以由勾股定理得 ， ， 所 .因为 以 . 8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵ 爬行的最短路径.∵ ∵ 9.B 的中点，则 ，∴ ，∴ 解 为 就是蚂蚁 ． ，即蚂蚁要爬行的最短路程是 10 cm． 析 ： 由 ， 整 ， ，所以 所以这个三角形一定是直角三角形. 10.B 解析：由 ，得 以∠B=90°，从而互余的一对角是∠ 与∠ . ， 得 即 ，符合 ，所以△ 理 ， 是直角三角形，且 是斜边，所 11. cm 或 13 cm 解析：根据勾股定理，当 12 为直角边长时，第三条线段长为 ；当 12 为斜边长时，第三条线段长为 ． 12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一， ∴ ，∴ .∵ ∵ . ， ∴ （cm）． 13.108 解析：因为 ，所以△ 是直角三角形，且两条直角边长分别为 9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 A . D 14. 3 解析：如图，过点 作 因 为 ， 于 . ， ， 所 以 B . 因为 离 平分 ， ，所以点 到 C E 的距 第 14 题答图 ． 15.15 解析：设第三个数是 ，①若 为最长边，则 符合题意；② 若 17 为最长边，则 ，三边是整数，能构成勾股数，符合 题意，故答案为：15． 16. 解析：设直角三角形的斜边长是 股定理，得 ，不是整数，不 ，解得 ，则另一条直角边 长是 ，则斜边长是 ． 17.49 解析：正方形 A，B，C，D 的面积之和是 最大的正方形的面积，即 49 18.4 解 析 ： 在 Rt△ABC 中 ， ，则 （步）． 19.解：（ 1）因为 根据三边长满足的条件，可以判断△ ．根据勾 ， 是直角三角形，其中∠ 为直角. ． ， 少 走“捷径”，在花圃内走出了一 了 （2）因为 ，所以 ， 根据三边长满足的条件，可以判断△ 20.解：如图①，若△ 是直角三角形，其中∠ 为直角. 2 2 2 是锐角三角形，则有 a  b  c .证明如下： a  x .在 Rt△ACD 中， 过点 作 ，垂足为 ，设 为 x ，则有 根据勾股定理，得 AC2  CD2=AD2 ，即 b2  x2= AD2. 在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，得 AD2=AB2  BD2 ， 即 AD2= c2 2 2 2 2 2  x)2 ， 即 b  x c  a  2ax  x ， ∴ (a  a 2  b 2 c 2  2ax . ∵ a  0, x  0 ，∴ 如图②，若△ 过点 作 2ax  0 ，∴ a 2  b 2  c 2 . 2 2 2 是钝角三角形， C 为钝角，则有 a  b  c . 证明如下： ，交 的延长线于点 . 2 2 2 为 x ，在 Rt△BCD 中，根据勾股定理，得 BD a  x ，在 Rt△ABD 中， 根据勾股 设 2 2 2 2 定理，得 AD2+ BD2= AB2，即 (b  x)  a  x c ． 2 2 2 即 a  b  2bx c . 2 2 2 ∵ b  0, x  0 ，∴ 2bx  0 ，∴ a  b  c . 21.解：（1）因为三个内角的比是 所以设三个内角的度数分别为 ， . 由 ，得 ， 所以三个内角的度数分别为 . （2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为 1，斜边长为 2. 设另外一条直角边长为 ，则 ，即 . 所以另外一条边长的平方为 3. 22.分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形， 运用勾股定理可将折断的位置求出． 解：设旗杆未折断部分的长为 m，则折断部分的长为 m， 根据勾股定理,得 解得： ， m，即旗杆在离底部 6 m 处断裂． ；根据此规律可求出 2 3.分析：根据已知条件可找出规律 解：由 3，4，5： ； 5，12，13： ； 7，24，25： . 故 ， 解得 ， ， ，即 . 翻折得到△ 24.分析：（