北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理 单元测试 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的 3 倍，则斜边长扩大到 原来的( A．2 倍 ) B．3 倍 C．4 倍 D．5 倍 2. 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， AC ⊥ AB， AB=❑√ 5，且 AC： BD=2：3，那么 AC 的长为¿ A. 2 ❑√ 5 B. ¿ C. 3 √5 ❑ 3.下面四组线段能够组成直角三角形的是 A.2,3,4 B.3,4,5 C.6,7,8 ( D. 4 ) D.7,8,9 4．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( A．3 cm2 B．4 cm2 C．5 cm2 ) D．6 cm2 5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为( A．∠A＝∠B－∠C C．b2＝a2－c2 ) B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 D．a∶b∶c＝2∶3∶4 6.如图，直线 L 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 1 和 9，则 b 的面积为¿ A. 8 ¿ B. 9 C. 10 D. 11 7．如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ A． 3 1   B． 3 2 3 4  2 2 C． ） 2 D． 3 1   8.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m,当它把绳子 的下端拉开 5m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( ) A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m 9．已知直角三角形的斜边长为 5 cm，周长为 12 cm，则此三角形的面积是( ) A．12 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．10 cm2 10．如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，且 EF∥BC 交 AC 于 M，若 CM=5，则 CE2+CF2 等于（ A．75 B．100 ） C．120 D．125 二．填空题（共 8 小题，满分 32 分） 11．已知△ABC 的三边长为 a、b、c，满足 a+b=10，ab=18，c=8，则此 三角 形为 三角形． 12.在Rt △ ABC 中，已知两边长为 5、12，则第三边的长为______ ． 13.如图所示,小明将一张长为 20 cm,宽为 15 cm 的长方形纸剪去了一角,量得 AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为 . 14．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋＝0，则 △ABC 的形状为____________． 15．如图，每个小正方形边长为 1，则△ABC 边 AC 上的高 BD 的长为 ． 16.如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC=4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE， 把∠ B沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B' 处.当 △ CEB ' 为直角三角形时，CB ' 的长为_ _____． 17.如图所示,在一棵树上的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘 A 处,另一只猴子爬到树顶 C 后直接跃到 A 处,距离以直线计 算,若两只猴子所经过的距离相等, 则这棵树高 米. 18．在一根长 90 cm 的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆 柱体，且底面周长为 4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了 30 圈(如图为灯管的部 分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________． 三、解答题 19．（8 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD= 2 ，求△ABC 的面积． 20．（10 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点 A 和点 B 是格点，位置如 图． （1）在图 1 中确定格点 C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC； （2）在图 2 中确定格点 D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD； （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 个． 21.如图所示，将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠.点 B 落在 E 点，AE 交 DC 于 F 点，已知 AB=8 cm ， BC=4 cm .求折叠后重合部分的面积． 22．如图，一根 12m 的电线杆 AB 用铁丝 AC，AD 固定，现已知用去的铁丝 AC＝15m，AD＝13m，又测得地面上 B，C 两点之间的距离是 9m，B，D 两点之间的距离是 5m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 23．（12 分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地 ABCD，如图 所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 ∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m． （1）求出空地 ABCD 的面积． （2）若每种植 1 平方米草皮需要 200 元，问总共需投入多少元？ 24．（14 分）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例 如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如： 3、4、5； 是三个连续正整数组成的勾股数． 解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？ 答： ，若存在，试写出一组勾股数： ． ② 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存 在，求出勾股数，若不存在，说明理由． ③ 在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾 股数，若不存在，说明理由． 答案提示 1.B 2. D 3.B 4.C 5.D 6. C 7．C． 8.C 9.B 10．B． 11．直角． 12. 13 或❑√ 119 13.20 cm 14．等腰直角三角形 8 15． 5 16.2 或❑√ 10 17.15 18．150 cm 19．解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在 Rt△ADB 中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD= 2 ， 在 Rt△ADC 中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2 2 ， 2 ∴CD= 2 2    2  2  6 ，BC=BD+CD= 2 + 6 ， 1 1 ∴S△ABC= 2 ×BC×AD= 2 ×（ 2 + 6 ）× 2 =1+ 3 ． 20．解：（1）（2）如图所示： （3）在图 2 中满足题（2）条件的格点 D 有 4 个． 故答案是：4． 21. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ D=∠B=90∘， AD=BC， ∵将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠， ∴ BC =CE，∠ B=∠ E， ∴ AD=CE，∠ D=∠ E， 在△ EFC和△ DFA中， ∠ E=∠ D ∠ EFC=∠ DFA ， CE= AD { ∴ △ EFC≌△ DFA ， ∴ DF =EF ， AF=CF ， 设 FC =x，则 DF =8−x ， 在 RT △ ADF 中， D F2 + A D 2= A F 2，即¿， 解得： x=5，即CF=5 cm， 1 2 ∴折叠后重合部分的面积¿ CF × AD=10 c m ． 2 22．解：垂直．理由如下： 因为 AB＝12 m，AC＝15 m，BC＝9 m， 所以 AC2＝BC2＋AB2. 所以∠CBA＝90°. 又因为 AD＝13 m， AB＝12 m，BD＝5 m， 所以 AD2＝BD2＋AB2. 所以∠ABD＝90°， 因此电线杆和地面垂直． 23．解：（1）连接 BD， 在 Rt△ABD 中，BD2=AB2+AD2=32+42=52， 在△CBD 中，CD2=132，BC2=122， 而 122+52=132， 即 BC2+BD2=CD2， ∴∠DBC=90°， 1 1 1 1 则 S 四边形 ABCD=S△BAD+S△DBC= 2 •AD•AB+ 2 DB•BC= 2 ×4×3+ 2 ×12×5=36； （2）所以需费用 36×200=7200（元）． 24．解：①存在三个连续偶数能组成勾股数，如 6，8，10， 故答案为：存在；6，8，10； ② 答：不存在， 理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股 数， 设这三个正整数为 n﹣11，n，n+1， 则（n﹣11）2+n2=（n+1）2，（5 分） n1=4，n2=0（舍）， 当 n=4 时，n﹣11=3，n+1=5， ∴三个连续正整数仍然是 3，4，5， ∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数； ③ 答：不存在，理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股 数， 设这三个奇数分别为：2n﹣11，2n+1，2n+3（n＞1 的整数）， （2n﹣11）2+（2n+1）2=（2n+3）2， 7 1 n1= 2 ，n2=﹣1 2 ， ∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；