初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 特殊平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇） 【题型 1 四边形中的多解问题】 ............................................................................................................................... 1 【题型 2 四边形中的动点问题】 ............................................................................................................................... 2 【题型 3 四边形中的最值问题】 ............................................................................................................................... 4 【题型 4 四边形中的折叠问题】 ............................................................................................................................... 5 【题型 5 矩形与等腰三角形】 ................................................................................................................................... 6 【题型 6 菱形中的全等三角形的构造】 ...................................................................................................................9 【题型 7 正方形中线段的和差倍分关系】 .............................................................................................................10 【题型 8 坐标系中的四边形】 ................................................................................................................................. 11 【题型 9 四边形中存在性问题】 ............................................................................................................................. 12 【题型 1 四边形中的多解问题】 【例 1】（2023 春·辽宁鞍山·九年级校联考期中）在正方形����中，对角线��、��交于点�，∠���的平分线交�� 于点�，交��于点�．过点�作�� ⊥ ��于点�，∠���交��于点�．下列结论：①�� = 是菱形；③�� = 2��；④若∠��� = 45°，则�� = ��．其中正确的个数有（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） 2 + 1 ��；②四边形���� D．4 个 【变式 1-1】（2023 春·福建福州·九年级统考期末）如图，在菱形����中，�� = 2 3，∠��� = 60°，点 E 为对角 1 线��上一动点（不与点 B 重合），且�� < ��，连接��交��延长线于点 F． 2 ①∠��� = ∠���； 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 ②当△ ���为直角三角形时，�� = 2； ③当△ ���为等腰三角形时，∠��� = 20°或者∠��� = 40°； ④连接��，当�� = ��时，��平分∠���． 以上结论正确的是 （填正确的序号）． 【变式 1-2】（2023 春·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线的 交点，�� = 1，∠��� = 60°，过 C 作�� ⊥ ��于点 E，��的延长线与∠���的平分线相交于点 H，��与��交于点 3 F，与��交于点 M．给出下列四个结论：①�� = ��；②�� = ��；③�� = 3��；④�△��� = �△��� ； ⑤�� = 6 + 2．其中正确的结论有 （填写正确的序号）． 2 【变式 1-3】（2023 春·广西南宁·九年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古 国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有 400 余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证 明这个定理使用的图形.以 Rt △ ���(∠��� = 90°)的三边�, �, �为边分别向外作三个正方形：正方形����、正方形 ����、正方形����，再作�� ⊥ ��垂足为 G，交��于 P，连接��，��.则结论：①∠��� = ∠���，②△ ��� ≌△ ���， ③�正方形���� = 2�△��� ，④�矩形���� = 2�△��� .正确的结论有（ A．1 个 【题型 2 B．2 个 C．3 个 ） D．4 个 四边形中的动点问题】 【例 2】（2023 春·广西钦州·九年级统考期中）如图，在正方形����中，E 是边��上的一动点，点 F 在边��的延长 线上，且�� = ��，连接��、��． 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)求证�� ⊥ ��； (2)连接��，取��中点�，连接��并延长交��于�，连接��． ①依题意，补全图形： ②求证�� = ��； ③若∠��� = 45°，用等式表示线段��、��与��之间的数量关系，并证明． 【变式 2-1】（2023 春·福建福州·九年级校考期末）如图，在矩形����中，�� = 4，�� = 8，点�为��中点，�，� 为��边上两个动点，且�� = 2，当四边形����周长最小时，��的长为 ． 【变式 2-2】（2023 春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知菱形����的边长为 2，∠��� = 60°，点�、�分别是 边��、��上的两个动点，∠��� = 60°，连接��． (1)△ ���是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在�、�运动的过程中，△ ���的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 【变式 2-3】（2023 春·广西南宁·九年级校考期中）如图，在矩形纸片����中，�� = 2，�� = 2 2，�是��的中点， �是��边上的一个动点(点�不与点�，�重合)．将△ ���沿��所在直线翻折，点�的对应点为�′ ，连接�′ �，�′ �．当 △ �′ ��是等腰三角形时，��的长为 ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 3 关注微信公众号：明悉数学 四边形中的最值问题】 【例 3】（2023 春·江苏南通·九年级统考期末）如图，在菱形����中，�� = 6，∠��� = 60°．E 是对角线��上的 一个动点（不与点 B，D 重合），连接��，以��为边作菱形����，其中，点 G 位于直线��的上方，且∠��� = 60°， 点 P 是��的中点，连接��，则线段��的最小值是 ． 【变式 3-1】（2023 春·湖北恩施·九年级统考期末）如图，正方形����的边长为 5，点�，�，�，�分别在正方形的 四条边上，且��∥��，�� = ��，则四边形����的周长的最小值是 ． 【变式 3-2】 （2023 春·四川成都·九年级统考期末）在平面直角坐标系���中，四边形����是矩形，�� = 2 3，∠��� = 30°． (1)如图 1，点 P 为射线��上的动点，连接��，若△ ���是等腰三角形，求��的长度； (2)如图 2，是否在 x 轴上存在点 E，在直线��上存在点 F，以 O，B，E，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 3，点 M 是��边上的动点，过点 M 作��的垂线交直线��于点 N，求�� + �� + ��的最小值． 【变式 3-3】（2023 春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，矩形����中，�� = 4，�� = �，E、F 分别在边��、�� 上，并且△ ���为等边三角形，则 m 的取值范围为 ��的最小值为 ． ，若点 G 是边��上的一点，且�� = 2，则随着 m 的变化， 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 4 关注微信公众号：明悉数学 四边形中的折叠问题】 【例 4】（2023 春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题． 【操作发现】 如图 1，探究小组将矩形纸片����沿对角线��所在的直线折叠，点�落在点�处，��与��边交于点�，再将纸片沿 直线��折叠，使��边落在直线��上，点 A 与点�重合． （1）∠��� =_______度． （2）若�� = 6，�� = 3，求线段��的长． 【迁移应用】 （3）如图 2，在正方形纸片����中，点�为��边上一点，探究小组将△ ���沿直线��折叠得到△ ���，再将纸片 沿过 A 的直线折叠，使��与��重合，折痕为��，探究小组继续将正方形纸片沿直线��折叠，点�的对应点恰好落 在折痕��上的点�处，��与��相交于点�，若�� = 1，求△ ���的面积． 【变式 4-1】（2023 春·浙江杭州·九年级校考期中）如图 1，一张矩形纸片����，其中�� = 8cm，�� = 6cm，先沿 对角线��折叠，点�落在点�′ 的位置，��′ 交��于点�． (1)求证：�� = ��； (2)求�′ �的长； 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学