初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册专项训练系列 【相似三角形的证明与计算】 考卷信息： 本套训练卷共 60 题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！ 一．解答题（共 30 小题） 1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在����中，点�在��边上，∠��� = ∠���. （1）求证：���� ∽ ����； （2）若�� = �, �� = �求��的长. 2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，点 E 是 AD 的中点，CF⊥BE 于点 F，求 FC 的长． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在�� △ ���中，∠��� = ��°，�� ⊥ ��于 D． 求证：△ ��� ∽△ ���． 4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，BC=8，点 E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=EF=FD，AE 的延长线交 BC 于点 G，GF 的延长线交 AD 于点 H． （1）求 HD 的长； 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （2）设△ ���的面积为 a，求四边形 AEFH 的面积．（用含 a 的代数式表示） 5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB． 6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC 中，AB＝4，BC＝8，D 为 BC 边上一点，BD＝2．求 证：△ABD∽△CBA． 7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2， �� �� = �� �� ，求证：∠C=∠D． 8．（2022·全国·九年级专题练习）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠ MPN 绕点 P 从 PB 处开始顺时针方向旋转，PM 交边 AB 于点 E，PN 交边 AD 于点 F，当 PE 旋转至 PA 处 时，∠MPN 的旋转随即停止. （1）如图 2，在旋转中发现当 PM 经过点 A 时，PN 也经过点 D，求证：△ABP ∽△PCD �� （2）如图 3，在旋转过程中，��的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 （3）设 AE= �，连结 EF，则在旋转过程中，当�为何值时，△BPE 与△PEF 相似. 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ ���中，�� = ��，∠��� = ���°，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠��� = ��°，求证：△ ��� ∽△ ���． 10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ ���和△ ���都是等腰直角三角形，∠��� = ∠��� = ��°， �� = ��，�� = ��，连接��，��，求 �� �� 的值． 11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E 是边��上一点，且满 足∠��� = ∠�． (1)证明：���� ∼ ����； 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (2)若�� = �，�� = �，求 AB 的长． 12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC 与△ADE 中，∠C＝∠E，∠1＝∠2； （1）证明：△ABC∽△ADE． （2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ． 13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE 是△ ���的高． （1）求证：△ ��� ∽△ ���； （2）若 BD＝8，AD＝6，DE＝5，求 BC 的长． � 14． （2022·全国·九年级课时练习）如图，��//��//��，E 为��与��的交点，F 在��上，求证： + �� � �� = � �� ． 15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图 1，将直角三角板的直角顶点放在正方形 ABCD 上，使直角 顶点与 D 重合，三角板的一边交 AB 于点 P，另一边交 BC 的延长线于点 Q．则 DP DQ（填“＞”“＜” 或“＝”）； （2）将（1）中“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，且 AD＝2，CD＝4，其他条件不变． ①如图 2，若 PQ＝5，求 AP 长． ②如图 3，若 BD 平分∠PDQ．则 DP 的长为 ． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图 1，∠��� = ∠��� = ∠��� = ��°，由∠� + ∠� + ∠��� = ���°，∠� + ∠� + ∠��� = ���°，可得∠� = �� ∠� ；又因为��� = ∠��� = ��°，可得△ ���∽ △ ���，进而得到 线三等角”模型． �� =______．我们把这个模型称为“一 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图 2，在△ ���中，�� = �� = ��，�� = ��， 点 P 是 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合），点 D 是 AC 边上的一个动点，且∠��� = ∠�． ①求证：△ ���∽ △ ���； ②当点 P 为 BC 中点时，求 CD 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图 2，当△ ���为等腰三角形时，请直接写出 BP 的长． 17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE ＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一线，连接 AE，连接 DE， F 为线段 DE 上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC； 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ ���中，点�，�分别在边��、��上，��与��相交于点�， 且�� = �，�� = �� = �，�� = �．求证：△ ��� ∽△ ���． 20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点 M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME＝∠A＝ ∠B，且 DM 交 AC 于点 F，ME 交 BC 于点 G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明． 21． （2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F 分别是△ ���的三边��, ��, ��的中点．求证：△ ��� ∽△ ���． 22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的 2 倍，我们把这样的 三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC 中，点 F 在边 AC 上，D 是边 BC 上的一点，AB＝BD，点 A，D 关于 直线 l 对称，且直线 l 经过点 F． （1）如图 1，求作点 F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法） （2）如图 2，△ABC 是“和谐三角形”，三边长 BC，AC，AB 分别 a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b， 和 a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1． ①求 a，b 之间的等量关系； ②若 AE 是△ABD 的中线．求证：△ACE 是“和谐三角形”． 6 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC， 点 F 在边 AB 上，BC2=BF•BA，CF 与 DE 相交于点 G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点 E 为 AC 中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直 角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边 FG 在 BC 上，另两个顶点 E、H 分别在边 AB、AC 上． （1）求 BC 边上的高； （2）求正方形 EFGH 的边长． 25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，F 是 BC 的延长线上的 一点，且 CE=CF，BE 的延长线交 DF 于点 G，求证：△BGF∽△DCF． 7 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F 为四边形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AF 并延长交 BC 延长线于 点 E，已知∠� = ∠���． （1）求证：△ ��� ∽△ ���； （2）若 ABCD 为平行四边形，�� = �，�� = ���，求 FD 的长度． 27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一个动点，连接 DE，交 AC 于点 F． �� � （1）如图①，当�� = 时，求 � �△CEF �△CDF 的值； � （2）如图②，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG= BG． � 28． （2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ ���中，�� = ��，点�、�在边��上，满足∠��� = ∠� 求证：（1）�� ⋅ �� = �� � �� � （2） �� � �� = ��． 29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如 图（2）的平面图形，∠���与∠���恰好为对顶角，∠��� = ∠��� = ��°，连接��，�� = ��，点 F 是 线段��上一点． 8 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 探究发现： （1）当点 F 为线段��的中点时，连接��（如图（2），小明经过探究，得到结论：�� ⊥ ��．你认为此结 论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：若�� ⊥ ��，则点 F