初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【相似三角形的常见模型】 【题型 1 A 字型】 ......................................................................................................................................................... 2 【题型 2 “8”字形】 ......................................................................................................................................................... 3 【题型 3 AX 字型】 ........................................................................................................................................................ 4 【题型 4 子母型】 ...........................................................................................................................................................6 【题型 5 三角形内接矩形型】 ......................................................................................................................................8 【题型 6 双垂直型】 .......................................................................................................................................................9 【题型 7 手拉手型】 .................................................................................................................................................... 11 【题型 8 一线三角型】 ................................................................................................................................................ 13 【基本模型】 ①如图，在  ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，DE // BC ，则 △ ADE ∽△ ABC ， AD AE DE ．   AB AC BC ②模型拓展 1：斜交 A 字型条件： C  ADE ，图 2 结论：  ADE ~  ACB ； ③模型拓展 2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ AD AC CD ．   AC AB BC 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 1 关注微信公众号：明悉数学 A 字型】 【例 1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD 的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于_________． 【变式 1-1】 （2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD 中，∠A＝90°，AB＝6cm， AD＝12cm．某一时刻，动点 M 从点 A 出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动；同时，动点 N 从 点 D 出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动，运动的时间为 ts． 2 9 （1）求 t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的 ； （2）当以点 A，M，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求 t 值． 【变式 1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要 把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图 1、图 2 所示．请你用学 过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【变式 1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线 l1∥l2∥l3，且 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3， 把一块含有 45°角的直角三角形如图放置，顶点 A，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线 l2 交于点 D， 则线段 BD 的长度为（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A． 25 4 B． 25 3 关注微信公众号：明悉数学 C． 20 3 D． 15 4 【基本模型】 AB OA OB ；   CD OC OD AB OA OB ②如图 2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．   CD OD OC ①如图 1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ 【题型 2 AB JA JB ．   CD JC JD “8”字形】 【例 2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，连接 AC，BE 交 于点 F．若△AEF 的面积为 2，则△ABC 的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【变式 2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，BC＝6， AE AF  ，动点 EB FC P 在射线 EF 上， 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 1 BP 交 CE 于点 D，∠CBP 的平分线交 CE 于点 Q，当 CQ＝ CE 时，EP+BP 的值为（ 4 A．9 B．12 C．18 ） D．24 【变式 2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在 Rt△ACB 中，ACB  90 ， AC  4 ， BC  3 ， 点 D 为 AC 上一点，连接 BD ， E 为 AB 上一点， CE  BD 于点 F ，当 AD  CD 时，求 CE 的长． 【变式 2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知 D 是 BC 的中点，M 是 AD 的中点．求 AN : NC 的值． 【基本模型】 A 字型及 X 字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【题型 3 AX 字型】 【例 3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，若 AF＝2FD，则 BE 的值为（ EG ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A． 1 2 B． 关注微信公众号：明悉数学 1 3 C． 2 3 D． 3 4 【变式 3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知 Rt  ABC 中， ACB  90 ， CAB  30 （如图）．以线 段 AB 为边向外作等边三角形 ABD ，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F ． （1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形； （2）连接 CD ，交 AB 于点 M ． ①若 AB  6 ，求 BM 的长； ②作 MN  AC ，垂足为 N ，求证： 1 1 1 ．   BC AD MN 【变式 3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线， 过 D 点的直线 B1C1⊥AC 于 C1 交 AB 的延长线于 B1． （1）请你探究： AC1 C1 D AC CD  ， 是否都成立？  AB1 DB1 AB DB （2）请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 AC CD 一定成立吗？并  AB DB 证明你的判断． （3）如图（2）所示 Rt△ABC 中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ DF 32 ，DE∥AC 交 AB 于点 E，试求 的值． FA 3 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当 AED  B 时，△ ABC∽△ AED ，则有 AE AD DE   ．AE  AC  AD  AB ． AB AC BC 如图所示，当 E 点与 C 点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当 ACD  B 时， △ ABC∽△ ACD ，则有 【题型 4 AC AD CD   ． AB AC BC 子母型】 【例 4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在 ABC 中， ABC  45 ， AB  2 2 ， AD  AE ，  DAE  90 ， CE  5 ，则 CD 的长为______． 【变式 4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图 1，  ABC 中， AD 是 BAC 的角平 分线， AB  2 AD, ADE  B ． 求证： △ABD 与  ADE 互为母子三角形． （3）如图 2，  ABC 中， AD 是中线，过射线 CA 上点 E 作 EG / / BC ，交射线 DA 于点 G ，连结 BE ，射线 BE 6 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 与射线 DA 交于点 F ，若  AGE 与