初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 正方形的性质与判定 【题型 1 正方形的性质（求角的度数）】 .............................................................................................................1 【题型 2 正方形的性质（求线段的长度）】 .........................................................................................................3 【题型 3 正方形的性质（求面积、周长）】 .........................................................................................................4 【题型 4 正方形的性质（探究数量关系）】 .........................................................................................................5 【题型 5 判定正方形成立的条件】 ......................................................................................................................... 7 【题型 6 正方形判定的证明】 ................................................................................................................................. 8 【题型 7 正方形的判定与性质综合】 .....................................................................................................................9 【题型 8 探究正方形中的最值问题】 ...................................................................................................................11 【题型 9 正方形在坐标系中的运用】 ...................................................................................................................12 【题型 10 正方形中的多结论问题】 .....................................................................................................................13 【知识点 1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【知识点 2 正方形的性质】 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角 线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分 成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【题型 1 正方形的性质（求角的度数）】 【例 1】（2022 春•建阳区期中）如图，在正方形 ABCD 中有一个点 E，使三角形 BCE 是正三角形， 求：（1）∠BAE 的大小 （2）∠AED 的大小． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 1-1】如图，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， E 是 BC 上一点，以 AE 为 边在直线 MN 上方作正方形 AEFG． （1）连接 GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接 FC，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由． 【变式 1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上的一点，点 F 在 BC 的延 长线上，且 BE＝EF，EF 交 CD 于点 G． （1）求证：DE＝EF； （2）求∠DEF 的度数． 【变式 1-3】（2022 春•新市区校级期末）如图，在给定的正方形 ABCD 中，点 E 从点 B 出发，沿边 BC 方 向向终点 C 运动，DF⊥AE 交 AB 于点 F，以 FD，FE 为邻边构造平行四边形 DFEP，连接 CP，则∠DFE+∠ EPC 的度数的变化情况是（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小 【题型 2 正方形的性质（求线段的长度）】 【例 2】（2022 春•牡丹江期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 10，点 E，F 在正方形内部，AE＝CF＝8， BE＝DF＝6，则线段 EF 的长为（ A．2 � B．4 ） C．4− � D．4+ � 【变式 2-1】（2022 春•巴南区期末）如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 CD 上，且 DE ＝1，作 EF∥BC 分别交 AC、AB 于点 G、F，P、H 分别是 AG，BE 的中点，则 PH 的长是（ A．2 B．2.5 C．3 ） D．4 【变式 2-2】（2022•越秀区一模）将正方形 ABCD 与正方形 BEFG 按如图方式放置，点 F、B、C 在同一直 线上，已知 BG= �，BC＝3，连接 DF，M 是 DF 的中点，连接 AM，则 AM 的长是（ A． �� � B． � C． �� � ） � D． � 【变式 2-3】（2022 春•吴中区校级期末）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4 �．E、F 分别为边 AB、BC 的中点，连接 AF、DE，点 N、M 分别为 AF、DE 的中点，连接 MN，则 MN 的长度为 ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 3 关注微信公众号：明悉数学 正方形的性质（求面积、周长）】 【例 3】（2022 春•鄞州区期末）有两个正方形 A，B．现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A，B 构造新的正 方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 12，若三个正方形 A 和两个正方形 B 得图丙， 则阴影部分的面积为（ A．28 ） B．29 C．30 D．31 【变式 3-1】（2022 春•工业园区校级期中）如图，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点，△DCE 为 Rt△，∠CED＝90°，OE＝2 �，若 CE•DE＝3，则正方形 ABCD 的面积为（ A．5 B．6 C．8 ） D．10 【变式 3-2】（2022•台州）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CE＝DF，BE， CF 相交于点 G．若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则△BCG 的周长为 ． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 3-3】（2022•江北区一模）如图，以 Rt△ABC 的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结 DG，点 H 为 DG 的中点，连结 HB，HN，若要求出△HBN 的面积，只需知道（ A．△ABC 的面积 B．正方形 ADEB 的面积 C．正方形 ACFG 的面积 D．正方形 BNMC 的面积 【题型 4 ） 正方形的性质（探究数量关系）】 【例 4】（2022 秋•中原区校级月考）如图，线段 AB＝4，射线 BG⊥AB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为 边作正方形 APCD，且点 C、D 与点 B 在 AP 两侧，在线段 DP 上取一点 E，使∠EAP＝∠BAP，直线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合）． （1）求证：△AEP≌△CEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）请直接写出△AEF 的周长． 【变式 4-1】（2022 春•雁塔区校级期末）在正方形 ABCD 中，∠MAN＝45°，该角可以绕点 A 转动，∠ MAN 的两边分别交射线 CB，DC 于点 M，N． （1）当点 M，N 分别在正方形的边 CB 和 DC 上时（如图 1），线段 BM，DN，MN 之间有怎样的数量 关系？你的猜想是： ，并加以证明． （2）当点 M，N 分别在正方形的边 CB 和 DC 的延长线上时（如图 2），线段 BM，DN，MN 之间的数 量关系会发生变化吗？证明你的结论． 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 4-2】（2022 春•莆田期末）如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 CB 延长线上一点，且 BE＝AB，M、 N 分别为 AE、BC 的中点，连 DE 交 AB 于 O，MN 交，ED 于 H 点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过 A 作 AP⊥ED 于 P 点，连 BP，则 ��−�� �� 的值． 【变式 4-3】（2022 春•鼓楼区校级期中）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O．点 E 是线段 DO 上一 点，连接 CE．点 F 是∠OCE 的平分线上一点，且 BF⊥CF 与 CO 相交于点 G．点 H 是线段 CE 上一点，且 CO＝CH． （1）若 OF＝5，求 FH 的长； （2）求证：BF＝OH+CF． 6 初中学习资料 QQ 群 164307271 【知识点 3 关注微信公众号：明悉数学 正方形的判定】 ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1