初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 正方形的判定与性质【十大题型】 【题型 1 利用正方形的性质求角度】 ..................................................................................................................... 1 【题型 2 利用正方形的性质求线段长】 .................................................................................................................2 【题型 3 利用正方形的性质求面积】 ..................................................................................................................... 3 【题型 4 利用正方形的性质求坐标】 ..................................................................................................................... 4 【题型 5 利用正方形的性质证明】 ......................................................................................................................... 5 【题型 6 添加条件使四边形是正方形】 .................................................................................................................7 【题型 7 证明四边形是正方形】 ............................................................................................................................. 8 【题型 8 利用正方形的性质与判定求角度】 .........................................................................................................9 【题型 9 利用正方形的性质与判定求线段长】 ...................................................................................................10 【题型 10 利用正方形的性质与判定求面积】 .......................................................................................................11 【知识点 1 正方形的性质】 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线 平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全 等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【题型 1 利用正方形的性质求角度】 【例 1】（2023 春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，在正方形����中，对角线��、��相交于点 O．E、F 分别为��、 ��上一点，且�� = ��，连接��，��，��．若∠��� = 25°，则∠���的度数为（ A．50° B．55° C．65° ） D．70° 【变式 1-1】（2023 春·江苏·八年级期末）如图，在正方形����中，�� ⊥ ��, ∠��� = 35°，则∠���等于（ 1 ） 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．45° B．55° 关注微信公众号：明悉数学 C．65° D．75° 【变式 1-2】 （2023 春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）如图，正方形����中，��∥��，�� = ��，则∠��� = ． 【变式 1-3】（2023 春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）如图，正方形����的对角线相交于点 O，边长为 4，等 腰直角三角形���绕点 O 转动，当 E、A、D 三点共线时，��与��的交点 G 恰好是��的中点，则线段��的长为（ A．12 【题型 2 B．4 5 C．8 ） D．2 10 利用正方形的性质求线段长】 【例 2】 （2023 春·广东广州·八年级统考期末）如图，正方形����的边长为 2 2，P 为对角线��上动点，过 P 作�� ⊥ �� 于 E，�� ⊥ ��于 F，连接��，则��的最小值为（ A．2 B．4 ） C． 2 D．1 【变式 2-1】 （2023 春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在正方形 ABCD 中，�� = 6，M 是 AD 边上的一点，��: �� = 1: 2．将Δ���沿 BM 对折至Δ���，连接 DN，则 DN 的长是 ． 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 2-2】（2023 春·山东济宁·八年级统考期中）如图，正方形����的边长为 8，点�是��的中点，��垂直平分�� 且分别交��、��于点�、�，求��的长． 【变式 2-3】（2023 春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 AB 边延长线上一点， BE＝2，F 是 AB 边上一点，将△CEF 沿 CF 翻折，使点 E 的对应点 G 落在 AD 边上，连接 EG 交折痕 CF 于点 H， 则 FH 的长是（ 4 A． 3 【题型 3 ） B． 10 3 C．1 D． 利用正方形的性质求面积】 5 3 【例 3】（2023 春·广东潮州·八年级统考期末）如图，正方形����的边长为 2 5，�为��上一点，连接��，�� ⊥ �� 于点�，连接��，且�� = ��，若�� = 2，则△ ���的面积为（ A．8 B．6 C．4 ） D．2 5 【变式 3-1】 （2023 春·重庆永川·八年级统考期末）如图，点 E 是正方形����内一点，且�� = 1，�� = 5，若∠��� = 135°，则正方形����的面积是 ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 3-2】（2023 春·山东临沂·八年级统考期中）将 n 个边长都为 2cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点�1 ，�2 ， �3 ⋅⋅⋅分别是正方形对角线的交点，则 n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【变式 3-3】（2023 春·山东日照·八年级校考期中）如图（1），已知小正方形����的面积为 1，把它的各边延长一 倍得到新正方形�1 �1 �1 �1 ，把正方形�1 �1 �1 �1 边长按原法延长一倍后得到正方形�2 �2 �2 �2 ，如图（2）；以此下 去…，则正方形�4 �4 �4 �4 的面积为（ A．25 【题型 4 B．125 ） C．625 D．3125 利用正方形的性质求坐标】 【例 4】（2023 春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形����的顶点 A 的坐标为 0,2 ， 顶点 B 在 x 轴上，对角线��、��相交于点 M，若�� = 3 2，则点 C 的坐标为 ． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 4-1】（2023 春·浙江·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 的坐标 是(4，0)，点 P 为边 AB 上一点，∠CPB=60°，沿 CP 折叠正方形，折叠后，点 B 落在平面内点�'处，则�'点的坐标 为（ ） A．(2，2) 3 B．( ，3) C．(2，4 − 2 3) 2 3 D．( ，4 − 2 3) 2 【变式 4-2】（2023 春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，正方形����边长为 6，对角线��、��相交于点�，�轴上 有一点� 2,0 ，动直线�绕着点�旋转，与�轴相交于点�，且满足∠��� − ∠��� = 45°，点�坐标为 ． 1 【变式 4-3】（2023 春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，直线� = � + 1 与 x 轴、y 轴分别 交于 A、B 两点，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD，点 C 的坐标是 的周长最小的时候，点 M 的坐标是 【题型 5 2 ．在 y 轴上有一个动点 M，当△MDC ． 利用正方形的性质证明】 【例 5】（2023 春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形����中，�是边��上的一动点（不与点�、�重合）， 连接��，点 A 关于直线��的对称点为�，连接��并延长交��于点�，连接��，过点�作�� ⊥ ��交��的延长线于 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 点�，连接��． (1)求证：�� = ��； (2)用等式表示线段��与��的数量关系，并证明． 【变式 5-1】 （2023 春·天津·八年级校联考期中）如图，点�在正方形����的边��上，点�在边��的延长线上，且�� = ��．求证： (1)�� = ��； (2)∠��� = 90°． 【变式 5-2】（2023 春·广西贺州·八年级统考期末）如图 1，正方形����中，点 E 是��延长线上一点，连接�� ， 过点 B 作�� ⊥ ��于点 F，交��于点 G． (1)求证：�� = ��； (2)如图 2，连接��、��，若��平分∠���，求证：��平分∠���． 6 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 5-