初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 菱形的性质与判定【十大题型】 【题型 1 利用菱形的性质求角度】 ............................................................................................................................... 1 【题型 2 利用菱形的性质求线段长】 ........................................................................................................................... 2 【题型 3 利用菱形的性质求面积】 ............................................................................................................................... 3 【题型 4 利用菱形的性质求坐标】 ............................................................................................................................... 4 【题型 5 利用菱形的性质证明】 ....................................................................................................................................5 【题型 6 添加条件使四边形是菱形】 ........................................................................................................................... 6 【题型 7 证明四边形是菱形】 ........................................................................................................................................7 【题型 8 利用菱形的性质与判定求角度】 ...................................................................................................................8 【题型 9 利用菱形的性质与判定求线段长】 ...............................................................................................................9 【题型 10 利用菱形的性质与判定求面积】 ................................................................................................................ 10 【知识点 1 菱形的性质】 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【题型 1 利用菱形的性质求角度】 【例 1】（2023 春·九年级单元测试）如图，在菱形����中，M，N 分别在��，��上，且�� = ��，��与��交 于点 O，连接��．若∠��� = ��°，则∠���的度数为______度． 【变式 1-1】（2023·全国·九年级假期作业）如图，在菱形����中，对角线��、��相交于点 O，∠��� = ��°，则 ∠���的度数是（ ） A．��° B．��° C．��° D．���° 【变式 1-2】（2023 春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）在菱形����中，∠��� = ��°，�� = ��，则∠��� 的度数为（ ） 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．��° B．��° 关注微信公众号：明悉数学 C．��° D．��° 【变式 1-3】（2023 春·九年级单元测试）如图，菱形����的对角线��、��相交于点�，�� ⊥ ��于点�，连接��， 若�� = ��，则∠��� =________． 【题型 2 利用菱形的性质求线段长】 【例 2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形����中，连接��、��，若∠��� = ��°且�� = �，则�� 长为（ ） A．8 B．6 C．� � D．� � 【变式 2-1】（2023 春·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知菱形����，�� = �，面积等于��，则菱形���� 的周长等于______ ． 【变式 2-2】 （2023 春·广东广州·九年级期中）如图，在菱形����中，对角线��与��相交于点 O，�� = ��，�� = ��， �� ⊥ ��，垂足为点 E．则�� =_______． 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 2-3】（2023 春·江苏扬州·九年级校考期中）如图，木制活动衣帽架由 3 个全等的菱形挂钩构成，在 A、E、F、 C、G、H 处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在 B，M 处固定．已知菱形����的边长为 ����，要使两排挂钩的距离（即��）为����，求��之间的距离． 【题型 3 利用菱形的性质求面积】 【例 3】（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在▱����中，��的垂直平分线��交��于点�，交��于点 O，连 接��，��，过点 C 作��∥��，交��的延长线于点 F，连接��．若�� = �，�� = �，则四边形����的面积为______． . 【变式 3-1】（2023 春·广东东莞·九年级校考期中）如图，菱形����的对角线长分别为 2 和 5，�是对角线��上任 意一点（点�不与点�，�重合），且�� ∥ ��交��于点�，�� ∥ ��交��于点�，则阴影部分的面积是（ A．� B．�. � C．� ） D．�. � 【变式 3-2】（2023 春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在菱形����中，∠���: ∠� = �: �，�� ⊥ ��于点 E， 交对角线��于点 P．过点 P 作�� ⊥ ��于点 F．若△ ���的周长为 4．则菱形����的面积为（ A．8 B．� � C．16 ） D．� � 【变式 3-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图，在菱形����中，�� = �，∠� = ��°．点 P 为边�� 上一点，且不与点 C，D 重合，连接��，过点 A 作�� ∥ ��，且�� = ��，连接��，��，则四边形����的面积 为__________． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 4 关注微信公众号：明悉数学 利用菱形的性质求坐标】 【例 4】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）菱形����在平面直角坐标系中的位置如图所示，��交 y 轴 于点 D，连接��，交��于点 E．已知点� �, � ，∠� = ��°，求点 B 的坐标． 【变式 4-1】（2023·广东深圳·校考三模）如图，四边形����是菱形，顶点 A，�的坐标分别是 �, � ， �, � ，点� 在�轴的正半轴上，则顶点�的坐标是（ ） A． �, � B． �, � C． �, � D． �, � 【变式 4-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶 点 B 的坐标为（8，4），点 P 是对角线 OB 上一个动点，点 D 的坐标为（0，﹣2），当 DP 与 AP 之和最小时，点 P 的坐标为_____． 【变式 4-3】（2023 春·北京东城·九年级汇文中学校考期中）含 60°角的菱形�� �� �� �� ，�� �� �� �� ，�� �� �� �� ，…， 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 按如图所示的方式放置在平面直角坐标系���中，点 �� ，�� ，�� ，…，和点�� ，�� ，�� ，�� ，…，分别在直线� = ��和�轴上．已知�� �，� ，�� �，� ，则点�� 的坐标是________；点�� 的坐标是_________；点�� 的坐标是_______ （�为正整数）． 【题型 5 利用菱形的性质证明】 【例 5】（2023 春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）【问题情境】 数学探究课上，某兴趣小组探究含��°角的菱形的性质．如图 1，四边形����是菱形，∠��� = ��°． (1)∠���的度数为______． 【操作发现】 (2)如图 2，小贤在菱形����的对角线��上任取一点 P，以��为边向右侧作菱形����，且∠��� = ��°，连接��．求 证：△ ��� ≌△ ���． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，若�� = �．当点 E 在��上时，连接��，求此时��的长． 【变式 5-1】（2023 春·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在对角线 BD 上，且�� = ��． (1)求证：�� = ��； 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (2)若∠��� = ��∘，求∠ACF 的度数． 【变式 5-2】（2023·四川巴中·校考二模）在如图的菱形����中，点�是��边上一点，连接��，点�，�是��上的 两点，连接��，��，使得∠��� = ∠���，∠��� = ∠���．