初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 矩形的判定与性质【十一大题型】 【题型 1 利用矩形的性质求角度】 ............................................................................................................................... 1 【题型 2 利用矩形的性质求线段长】 ........................................................................................................................... 2 【题型 3 利用矩形的性质求面积】 ............................................................................................................................... 3 【题型 4 利用矩形的性质求坐标】 ............................................................................................................................... 4 【题型 5 利用矩形的性质证明】 ....................................................................................................................................5 【题型 6 添加条件使四边形是矩形】 ........................................................................................................................... 7 【题型 7 证明四边形是矩形】 ........................................................................................................................................7 【题型 8 利用矩形的性质与判定求角度】 ...................................................................................................................8 【题型 9 利用矩形的性质与判定求线段长】 ............................................................................................................ 10 【题型 10 利用矩形的性质与判定求面积】 ................................................................................................................ 11 【题型 11 利用直角三角形斜边中线求解】 ................................................................................................................ 12 【知识点 1 矩形的性质】 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角 线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称 中心是两条对角线的交点． 【题型 1 利用矩形的性质求角度】 【例 1】（2023 春·贵州遵义·九年级统考期末）如图，已知在矩形����中，对角线��，��相交于点 O，�� ⊥ �� 于点 E．若∠���: ∠��� = �: �，则∠���的度数是（ A．��° B．��° C．��. �° ） D．��° 【变式 1-1】（2023 春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形����为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面 与��的交点为�，当水杯底面��与水平面的夹角为��°时，∠���的大小为______. 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 1-2】（2023 春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将矩形����绕点�旋转得到矩形����，点�在��上， 延长��交��于点�. (1)求证：△ ��� ≅△ ���； (2)连接��，若∠��� = ��°，求∠���的度数． 【变式 1-3】（2023 春·广西南宁·九年级南宁二中校考期末）如图，在矩形����中，�� = ���，点�为边��上的 一个动点，线段��绕点�逆时针旋转��°得到线段��，连接��，��.当线段��的长度最小时，∠���的度数为 ______． 【题型 2 利用矩形的性质求线段长】 【例 2】（2023 春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形����中，�� = �，�� = �，动 点Р满足�S△��� = S▭ A． �� ���� ，则点Р到�、�两点距离之和�� B． �� + ��的最小值为（ C．� � ） D． �� 【变式 2-1】（2023 春·河北唐山·九年级统考期中）如图，矩形����中，�� = �，�� = ��，点 P 在对角线��上， 且�� = ��，连接��并延长，交��的延长线于点 Q，连接��． 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)求证：△ ���是等腰三角形； (2)求��和��的长． 【变式 2-2】（2023 春·山东聊城·九年级统考期中）如图，矩形纸片����沿过点�的直线��折叠，恰使得点�落在 边��的中点�处，且�� = �，则矩形的边��的长度为( A．� B． � C． � ) D．� 【变式 2-3】（2023 春·安徽亳州·九年级统考期末）如图，矩形����中，�� = �，�� = ���．点 E 在边��上， 点 F 在边��上，点 G、H 在对角线��上．若四边形����是菱形，则��的长是________． 【题型 3 利用矩形的性质求面积】 【例 3】（2023 春·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在矩形����中，对角线��，��相交于点�，若∠��� = ��°， ��的长为 4，则矩形����的面积为（ A．� � B．� � ） C．� � D．16 【变式 3-1】（2023 春·江苏·九年级期中）如图，过矩形����对角线��上一点�作��∥��，分别交��和��于点 �和�，连接��, ��，已知�� = �, �� = �，则△ ���和△ ���的面积和等于（ ） 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．10 B．12 关注微信公众号：明悉数学 C．14 D．16 【变式 3-2】（2023 春·江苏泰州·九年级统考期中）如图，矩形����的周长为 24cm，两条对角线相交于点 O，过 点 O 作��的垂线��，分别交��、��于点 E、F，连接��，且�� = �cm，则矩形����的面积为（ A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 ） D．36cm2 【变式 3-3】 （2023 春·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作�� ⊥ ��， 交 AD 于点 E，过点 E 作�� ⊥ ��，垂足为 F，�� = �，�� = �，�� = � �，则矩形 ABCD 的面积为________． 【题型 4 利用矩形的性质求坐标】 【例 4】（2023 春·安徽黄山·九年级统考期末）如图，四边形����是矩形，其中点�和点�分别在�轴和�轴上，连 接��，点�的坐标为 �� ， � ，∠���的平分线与�轴相交于点�，则�点的坐标为__________． 【变式 4-1】（2023 春·广东阳江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30°，AC＝6，则点 A 的坐标是____． 【变式 4-2】（2023 春·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考开学考试）如图，平面直角坐标系中，长方形����，点 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 �，�分别在�轴，�轴的正半轴上，�� = �，�� = �，∠��� = ��°，��，��分别交��，��于点�，�，且�� = �， 则点�坐标为______． 【变式 4-3】（2023 春·湖北十堰·九年级统考期中）如图，矩形����的顶点�，�分别在�轴，�轴上，�� = �� = �， �� = � �，将矩形����绕点�顺时针旋转，每次旋转��°，则第����次旋转结束时，点�的坐标为（ A．(�, �) 【题型 5 B．(�, �) 利用矩形的性质证明】 C．( − �, �) ） D．( − �, �) 【例 5】（2023 春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形����中，点�在边��上，�� = ��，过点�作�� ⊥ ��， 垂足为�． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = �，�� = �，求四边形����的面积． 【变式 5-1】（2023 春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，四边形����是矩形，连接��、��交于点 O，∠���的角平分线交��于点 E． (1)尺规作图：作∠���的角平分线交��于点 F，连接��，��；（保留作图痕迹，不写作法） 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (2)求证：四边形��