【暑期预科】北师大版九上数学全套讲义 目录 第 01 讲 菱形的性质与判定 .................................................................................................................... 2 第 02 讲 矩形的性质与判定 .................................................................................................................... 9 第 03 讲 正方形的性质与判定 .............................................................................................................. 16 第 04 讲 认识一元二次方程 .................................................................................................................. 21 第 05 讲 用配方法求解一元二次方程 .................................................................................................. 24 第 06 讲 公式法与因式分解法求解一元二次方程 .............................................................................. 29 第 07 讲 一元二次方程的根与系数的关系 .......................................................................................... 33 第 08 讲 应用一元二次方程 .................................................................................................................. 37 第 09 讲 概率的进一步认识 .................................................................................................................. 43 第 10 讲 成比例线段与平行线分线段成比例 ...................................................................................... 50 第 11 讲 相似多边形与相似三角形的判定 .......................................................................................... 57 第 12 讲 相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高 .......................................................... 65 第 13 讲 相似三角形的性质与图形的位似 .......................................................................................... 74 学科 网（北 京）股 份有限 公司 第 1 页 共 82 页 第 01 讲 菱形的性质与判定 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理与判定定理. 3. 了解平行四边形与菱形的概念之间的从属关系. 【基础知识】 一．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ ab．（a、b 是两条对角线的长度） 二．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形 ABCD 是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形 ABCD 是平行四边形∴平行四边形 ABCD 是菱形 三．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始 终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边 形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一 组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 学科 网（北 京）股 份有限 公司 第 2 页 共 82 页 【考点剖析】 一．菱形的性质（共 3 小题） 1．（济南二模）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF． 2．（白云区期末）一个菱形两条对角线长的和是 10cm，面积是 12cm2，求菱形的周长． 3．（商河县校级期末）菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，且 BE＝CE，AD＝4cm． （1）求 BD 的长； （2）求菱形 ABCD 的面积． 二．菱形的判定（共 4 小题） 4．（大兴区期中）已知：如图，点 F 在△ABC 的边 AC 上，过点 F、B 分别作 AB、AC 的平行线相交于点 E，连接 BF，AB＝AF． 求证：四边形 ABEF 是菱形． 5．（饶平县校级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC 于点 G，EF⊥BC 于点 F，求 证：四边形 DFGE 是菱形． 学科 网（北 京）股 份有限 公司 第 3 页 共 82 页 6．（天心区校级期中）如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，AC 与 BD 相交于点 O，连接 CD． （1）求∠AOD 的度数； （2）求证：四边形 ABCD 是菱形． 7．（莲湖区期末）如图，在△ABC 中，AC＝BC，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，连接 DE，DF．求证： 四边形 DFCE 是菱形． 三．菱形的判定与性质（共 4 小题） 8．（柳南区校级期末）已知，如图，在▱ ABCD 中，BF 平分∠ABC 交 AD 于点 F，AE⊥BF 于点 O，交 BC 于点 E， 连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若 AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形 ABCD 的面积． 9．（天心区期中）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到 F，使 EF＝BE，连 接 CF． （1）求证：四边形 BCFE 为菱形； （2）若 CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形 BCFE 的面积． 学科 网（北 京）股 份有限 公司 第 4 页 共 82 页 10．（陕西期中）如图，四边形 ABCD 中，BD 垂直平分 AC，垂足为点 E，点 F 为四边形 ABCD 外一点，DA 平分 ∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且 AF⊥AC． （1）求证：四边形 ABDF 是菱形； （2）若 AB＝5，求 AC 的长． 11．（饶平县校级期末）如图，菱形 ABCD 对角线交于点 O，BE∥AC，AE∥BD，EO 与 AB 交于点 F． （1）试判断四边形 AEBO 的形状，并说明你的理由； （2）求证：EO＝DC． 【过关检测】 一．选择题（共 4 小题） 1．（番禺区校级期中）如图，菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AC 与 BD 交于点 O，E 为 CD 延长线上的一点，且 CD＝DE，连接 BE 分别交 AC，AD 于点 F、G，连接 OG，则下列结论：（ ① ） ； ②与△EGD 全等的三角形共有 2 个； ③S 四边形 ODEG＝S 四边形 ABOG； ④由点 A、B、D、E 构成的四边形是菱形； A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④ 2．（播州区一模）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列结论一定成立的是（ A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD 3．（新邵县期中）如图，菱形 ABCD 的对角线 BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（ 学科 网（北 京）股 份有限 公司 第 5 页 共 82 页 ） ） A．60 B．80 C．100 D．120 4．（广州期中）在菱形 ABCD 中，AC 是对角线，CD＝CE，连接 DE．AC＝16，CD＝10，则 DE 的长为（ A． B． C． 或 ） D． 二．填空题（共 7 小题） 5．（东莞市校级期中）已知菱形的面积为 18，一条对角线长为 2 ，另一条对角线为 ． 6．（高州市一模）如图，在菱形 ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线 BD 于点 F，垂足为点 E，连接 AF、AC， 若∠DCB＝70°，则∠FAC＝ ． 7．（甘井子区校级模拟）菱形的两条对角线分别为 6 和 8，则菱形的周长为 8．（潍坊期末）平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，添加以下条件，能判定平行四边形 ABCD 为菱 形的是 ． A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD 9．（凉州区期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一 个四边形，这个四边形是 ． 10．（陈仓区期中）如图，AD∥BC，AB∥DC，AB＝4，∠ADE＝150°，那么∠A＝