【暑期预科】北师大版九上数学全套讲义 第 01 讲 菱形的性质与判定 ..............................................................................................................................................1 第 02 讲 矩形的性质与判定 ............................................................................................................................................23 第 03 讲 正方形的性质与判定 ........................................................................................................................................42 第 04 讲 认识一元二次方程 ............................................................................................................................................61 第 05 讲 用配方法求解一元二次方程 ............................................................................................................................69 第 06 讲 公式法与因式分解法求解一元二次方程 ....................................................................................................... 79 第 07 讲 一元二次方程的根与系数的关系 ................................................................................................................... 89 第 08 讲 应用一元二次方程 ............................................................................................................................................99 第 09 讲 概率的进一步认识 ..........................................................................................................................................110 第 10 讲 成比例线段与平行线分线段成比例 ............................................................................................................. 126 第 11 讲 相似多边形与相似三角形的判定 ................................................................................................................. 141 第 12 讲 相似三角形判定定理的证明与利用相似三角形测高 ................................................................................. 157 第 13 讲 相似三角形的性质与图形的位似 ................................................................................................................. 178 第 01 讲 菱形的性质与判定 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理与判定定理. 3. 了解平行四边形与菱形的概念之间的从属关系. 【基础知识】 一．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ ab．（a、b 是两条对角线的长度） 二．菱形的判定 1 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形 ABCD 是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形 ABCD 是平行四边形∴平行四边形 ABCD 是菱形 三．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状 始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四 边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有 一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【考点剖析】 一．菱形的性质（共 3 小题） 1．（济南二模）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF． 【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝AD， 在△ABE 和△ADF 中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键． 2．（白云区期末）一个菱形两条对角线长的和是 10cm，面积是 12cm2，求菱形的周长． 2 【分析】先设菱形的一条对角线为 xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm，再利用菱形的面积＝对角线乘积的一半， 即可列方程，解出得到两条对角线长，再利用菱形的性质和勾股定理即可求得边长，从而得到周长． 【解答】解：如图设菱形的一条对角线为 xcm，则另一条对角线为（10﹣x）cm， x（10﹣x）＝12， 解得 x1＝4，x2＝6， 即 BD＝4，AC＝6， 在 Rt△AOB 中，AB＝ 所以菱形的周长为 4 ＝ ＝ ， ． 【点评】本题主要考查菱形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形性质和菱形的面积公式是关键． 3．（商河县校级期末）菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，且 BE＝CE，AD＝4cm． （1）求 BD 的长； （2）求菱形 ABCD 的面积． 【分析】（1）利用菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出 BO 的长，即可得出 BD 的长； （2）直接利用菱形对角线乘积的一半等于其面积，进而得出答案． 【解答】解：（1）连接 AC，交 BD 于点 O， ∵AE⊥BC 于点 E，且 BE＝CE， ∴AB＝AC， ∵在菱形 ABCD 中， ∴AB＝BC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ABO＝30°， ∵AD＝4， ∴AB＝4，BO＝2 ∴BD＝4 ， ； （2）菱形 ABCD 的面积为： AC•BD＝ ×4×4 ＝8 ． 3 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABC 是等边三角形是解题关键． 二．菱形的判定（共 4 小题） 4．（大兴区期中）已知：如图，点 F 在△ABC 的边 AC 上，过点 F、B 分别作 AB、AC 的平行线相交于点 E，连接 BF，AB＝AF． 求证：四边形 ABEF 是菱形． 【分析】先由已知条件证得四边形 ABEF 是平行四边形，再由 AB＝AF 可得▱ABEF 是菱形． 【解答】证明：∵EF∥AB，BE∥AF， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴▱ABEF 是菱形． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解决问题的关键． 5．（饶平县校级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC 于点 G，EF⊥BC 于点 F，求 证：四边形 DFGE 是菱形． 【分析】由已知条件得出 DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理得出 OG＝OD，OE＝OF，证 出四边形 DFGE 是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论． 【解答】证明：如图所示： ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∵DG⊥AC，EF⊥BC， ∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF， ∵AE＝ED＝DB， ∴OG＝OD，OE＝OF， 4 ∴四边形 DFGE 是平行四边形， 又∵DG⊥EF， ∴四边形 DFGE 是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的判定方法，证明 四边形是平行四边形是解决问题的关键． 6．（天心区校级期中）如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，AC 与 BD 相交于点 O，连接 CD． （1）求∠AOD 的度数； （2）求证：四边形 ABCD 是菱形． 【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+ ∠CBA＝180°，从而得到∠BAC+∠ABD＝ （∠DAB+∠ABC）＝ ×180°＝90°，得到答案∠AOD＝90°； （2）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝