初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 特殊平行四边形章末八大题型总结（培优篇） 【题型 1 添加条件使成为特殊四边形】 ...................................................................................................................1 【题型 2 根据四边形的性质求解】 ........................................................................................................................... 2 【题型 3 特殊四边形的证明】 ................................................................................................................................... 3 【题型 4 根据四边形的判定与性质求线段长】 .......................................................................................................4 【题型 5 根据四边形的判定与性质求角度】 ...........................................................................................................5 【题型 6 根据四边形的判定与性质求面积】 ...........................................................................................................7 【题型 7 直角三角形斜边上的中线】 ....................................................................................................................... 8 【题型 8 中点四边形】 ............................................................................................................................................... 9 【题型 1 添加条件使成为特殊四边形】 【例 1】（2023 春·云南·九年级统考期末）如图，四边形����是平行四边形，对角线��、��相交于点 O，在条件： ①�� = ��；②�� = ��；③�� ⊥ ��；④��平分∠���中，选择一个条件，使得四边形����是菱形，可选择的条 件是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式 1-1】（2023 春·上海浦东新·九年级校考期末）如图，已知四边形����是平行四边形，那么添加下列条件能 判定四边形����是正方形的是（ ） A．�� = ��且�� ⊥ �� C．∠��� = ∠���且�� = �� B．�� ⊥ ��且��和��互相平分 D．�� = ��且�� = �� 【变式 1-2】（2023 春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是 BC 的中点，连结 DO 并延 长，交 AB 延长线于点 E，连结 BD，EC． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)求证：四边形 BECD 是平行四边形． (2)若∠A＝50°： ①当∠ADE＝ °时，四边形 BECD 是矩形； ②当∠ADE＝ °时，四边形 BECD 是菱形． 【变式 1-3】（2023 春·天津·九年级统考期末）如图，在平行四边形����中，E，F 分别为边��, ��的中点．连接��， 过点 A 作��∥��交��的延长线于点 G． (1)求证：��∥��； (2)若∠� = 90°，则四边形����是_____，四边形����是______； (3)当��与��满足______时，四边形����是正方形． 【题型 2 根据四边形的性质求解】 【例 2】（2023 春·广东深圳·九年级校考期中）如图，已知在长方形����中，点�是��边上任意一点，点�是�� 的中点，��与��交于点�．若∠��� = ∠��� + 33°，则∠��� =( A．33° B．66° C．45° ) D．78° 【变式 2-1】（2023 春·河南安阳·九年级校考期中）中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂 饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形����，测得�� = 4cm, ∠��� = 60°，直线�� 过点�且与��垂直，分别交��, ��于�, �，则��的长为（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．2 3cm B．5 2cm 关注微信公众号：明悉数学 C．4cm D．4 3cm 【变式 2-2】（2023 春·云南曲靖·九年级校考期中）将�个边长都为 1 的正方形按如图所示的方法摆放，点�1 ，�2 ，…， �� 分别是正方形对角线的交点，则 2023 个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【变式 2-3】（2023 春·河北邢台·九年级校考期中）小明用 4 根长度为 6cm 的相同木条制作了能够活动的菱形学具， 他先活动学具成为如图 1 所示的菱形，此时∠�=60°，接着活动学具成为如图 2 所示的正方形，则图 1 中��比图 2 中的��（ ） A．长 6 3 − 6 2 cm C．长 3cm 【题型 3 特殊四边形的证明】 B．长 6 2 − 3 3 cm D．短 3cm 【例 3】 （2023 春·云南昭通·九年级统考期中）如图，在短形����中，�� = 8，�� = 6，�为��边上的动点，将△ ��� 沿��折叠得到△ ���，连接��，��． (1)若∠��� = 45°，求证：四边形����为正方形； (2)当�在运动过程中，��的最小值为______； (3)当�� ⊥ ��时，求��的长． 【变式 3-1】（2023 春·江苏南京·九年级校联考期中）如图，在四边形����中，E，F 分别是��，��的中点，G，H 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 分别是��，��的中点，顺次连接各点得到四边形����． (1)求证：四边形����是平行四边形； (2)若�� = ��，求证：▱����是菱形． 【变式 3-2】（2023 春·海南儋州·九年级统考期末）如图，在平行四边形����中，��平分∠���，��平分∠���， 且�� = ��，�� = ��． (1)求证：△ ��� ≌ △ ���； (2)求证：四边形����是矩形； (3)若�� = 3，�� = 5，求��的长． 【变式 3-3】（2023 春·福建福州·九年级统考期末）如图 1，矩形����中，E 为��中点，连接��，�� ⊥ ��于点 G， 交��于 F，�� ⊥ ��于点 H，��∥��，交��于点 I． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = ��，求证：A、I、F 三点共线； (3)如图 2，连接��交��于点 P，连接��，求证：四边形����是矩形． 【题型 4 根据四边形的判定与性质求线段长】 【例 4】 （2023 春·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在矩形����中，�� = 2，E 为��上一点，且�� = 1，作�� ⊥ �� 交边��于 F，将△ ���沿��折叠后点 C 恰好落在��边上的 G 处，则��长＝ ． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 4-1】（2023 春·河南南阳·九年级统考期末）如图，将边长为 4 的正方形纸片����沿��对折再展平，沿折痕 剪开，得到矩形����和矩形����，再将矩形����绕点 E 顺时针方向旋转．使点 A 与点 D 重合，点 F 的对应点为 �′ ，则图②中阴影部分的周长为 ． 【变式 4-2】（2023 春·辽宁铁岭·九年级统考期中）如图，在矩形����中，�� = 3，�� = 6，点 E，F，G，H 分别 在矩形的各边上，且�� = ��，�� = ��，则四边形����周长的最小值为 ． 【变式 4-3】（2023 春·广东东莞·九年级校联考期中）如图，在▱����中，∠��� = 90°，�� = ��，过点�作边�� 的垂线��交��的延长线于点�，点�是垂足，连接��、��，��交��于点�．则下列结论：①四边形����是正方形； ②�� = 2��，③�△��� = �△��� ，正确的是（ ） A．①② 【题型 5 B．①③ C．②③ D．①②③ 根据四边形的判定与性质求角度】 【例 5】（2023 春·江苏盐城·九年级景山中学校考期末）如图，▱����对角线��，��相交于点�，过点�作��∥�� 且�� = ��，连接��，��，�� = ��． 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)求证：▱����是菱形； (2)若�� = 4，∠��� = 60°，求��的长． 【变式 5-1】（2023 春·浙江杭州·九年级期中）如图，在一正方形����中，E 为对角线��上一点，连接��、��． （1）求证：△ ��� ≌△ ���． （2）延长��交��于点 F，若�� = ��．求∠���的度数． 【变式 5-2】（2023 春·广东广州·九年级统考期末）如图，在△ ���中，点 D，E 分别是边��，��的中点，��∥��， ��交��的延长线于点 F，连接��交��于点 O． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = 2��，∠��� = 70°，求∠���的度数． 【变式 5-3】（2023 春·湖北孝感·九年级统考期中）在平行四边形����中，∠���的平分线交��于点�，交直线�� 的延长线于点�． （