初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 矩形的性质与判定 【题型 1 由矩形的性质求线段的长度】 .................................................................................................................1 【题型 2 由矩形的性质求角的度数】 .....................................................................................................................2 【题型 3 由矩形的性质求面积】 ............................................................................................................................. 3 【题型 4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 .........................................................................................................4 【题型 5 矩形判定的条件】 ..................................................................................................................................... 6 【题型 6 证明四边形是矩形】 ................................................................................................................................. 7 【题型 7 矩形中多结论问题】 ................................................................................................................................. 8 【题型 8 矩形的判定与性质综合】 ......................................................................................................................... 9 【题型 9 直角三角形斜边的中线】 .......................................................................................................................11 【知识点 1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点 2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对 角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的 直线；对称中心是两条对角线的交点． 【题型 1 由矩形的性质求线段的长度】 【例 1】（2022 春•新泰市期末）如图，在矩形 ABCD 中，�� = � �，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，DE ⊥AC，垂足为点 E，CE＝OE，则 DE 的长为（ A．4 B．� � ） C．� � D．2 【变式 1-1】（2022 春•开州区期末）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DF 垂直平分 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 OC，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，连接 AF，若 BD＝2 �，DF＝2，则 AF 的长为（ A． � B．2 � C． � ） D．3 【变式 1-2】（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形 ABCD 中，O 是 BD 的中点，E 为 AD 边上一点，且 有 AE＝OB＝2．连接 OE，若∠AEO＝75°，则 DE 的长为（ � A． B． � � C．2 ） D．2 � −2 【变式 1-3】（2022•南岗区期末）如图，矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 CF＝2DF＝2， 连接 BE，EF，BF，且 BF 平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接 CE 交 BF 于点 G，则线段 EG 的长为 【题型 2 ． 由矩形的性质求角的度数】 【例 2】（2022 春•溧水区期中）如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，DE⊥AC 于点 E，∠AOD＝ 110°，则∠CDE 大小是（ A．55° B．40° ） C．35° D．20° 【变式 2-1】（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB 的大小是（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．22° 关注微信公众号：明悉数学 B．34° C．24° D．68° 【变式 2-2】（2022 春•江夏区期中）如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，点 M 在边 DC 上，若 AM 平 分∠DMB，则∠AMD 的大小是（ A．45° B．60° ） C．75° D．30° 【变式 2-3】（2022 春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 ABCD 的形状， 并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形 ABCD 的最大内角的大小是 【题型 3 ． 由矩形的性质求面积】 【例 3】（2022 春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是 1：2 的矩形叫做“和谐矩形”， 如果一个“和谐矩形”的对角线长为 10cm，则矩形的面积为 cm2． 【变式 3-1】（2022•成都）如图，过矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点 K 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ，那么图中矩形 AMKP 的面积 S1 与矩形 QCNK 的面积 S2 的大小关系是 S1 S2； （填“＞”或“＜”或“＝”） 【变式 3-2】（2022 春•成都期末）如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一动点，连接 BE，以 BE 边作矩形 BEFG，使得 FG 始终经过点 C．若矩形 ABCD 的面积为 s1，矩形 BEFG 的面积为 s2，则 s1 与 s2 的大小关 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 系是（ 关注微信公众号：明悉数学 ） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 【变式 3-3】（2022 春•九龙坡区校级期中）已知：矩形 ABCD 中，延长 BC 至 E，使 BE＝BD，F 为 DE 的 中点，连接 AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若 AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF 的面积． 【题型 4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 【例 4】（2022 春•潮南区期中）如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，3），则 CE 的长是（ A．3 B． � C． � ） D． �� 【变式 4-1】（2022 春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三 角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA＝3，OC＝4，点 M（2， 0），在边 AB 存在点 P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为（ ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．（3，1）或（3，3） � C．（3， ）或（3，1） � 关注微信公众号：明悉数学 � B．（3， ）或（3，3） � � D．（3， ）或（3，1）或（3，3） � 【变式 4-2】（2022•西平县模拟）已知在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC= �� � � ，O 为 BC 上一点，BO= ，如 图所示，以 BC 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段 OC 上的一点． � （1）若点 M 的坐标为（1，0），如图 1，以 OM 为一边作等腰△OMP，使点 P 在矩形 ABCD 的一边上， 则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标； （2）若将（1）中的点 M 的坐标改为（4，0），其他条件不变，如图 2，那么符合条件的等腰三角形有 几个？求出所有符合条件的点 P 的坐标． 【变式 4-3】（2022 春•浦江县期中）如图，长方形 OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A 点的坐标为 （4，0），C 点的坐标为（0，6），点 B 在第一象限内，点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 着 O→C→B→A→O 的路线移动（移动一周）． （1）写出点 B 的坐标； （2）当点 P 移动了 4 秒时，求出点 P 的坐标； （3）在移动过程中，当△OBP 的面积是 10 时，直接写出点 P 的坐标． 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 【知识点 3 关注微信公众号：明悉数学 矩形的判定方法】 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【题型 5 矩形判定的条件】 【例 5】（2022 春•夏邑县期中）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 EB， EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（ ） A．AB＝BE D．CE⊥DE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° 【变式 5-1】（2022 春•江油市期末）在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，在下列条件中，不能判定四 边形 ABCD 为矩形的是（ ） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝1