初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【相似三角形的应用】 【题型 1 相似三角形的应用（九章算术）】 .............................................................................................................1 【题型 2 相似三角形的应用（影长问题）】 .............................................................................................................3 【题型 3 相似三角形的应用（杠杆问题）】 .............................................................................................................5 【题型 4 相似三角形的应用（建筑物问题）】 ........................................................................................................ 6 【题型 5 相似三角形的应用（树高问题）】 .............................................................................................................8 【题型 6 相似三角形的应用（河宽问题）】 .............................................................................................................9 【题型 7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】 ..................................................................................................10 【知识点 相似三角形的应用】 在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似 三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模 型。 【题型 1 相似三角形的应用（九章算术）】 【例 1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样 一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大 意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点， 南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直线 AC 上）． 【变式 1-1】 （2022·湖南株洲·九年级期末） 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水岸 D，视线 BD 与井口的直 径 AC 交于点 E，如果测得�� = �米，�� = �. �米，�� = �. �米，那么 CD 为（ A．5 B．4 C．3 ）米． D．2 【变式 1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开 门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图， 四边形 EFGH 是一座正方形小城，北门 A 位于 FG 的中点，南门 B 位于 EH 的中点．从北门出去正北方向 20 步远的 C 处有一树木，从南门出去向南行走 14 步，再向西行走 1775 步，恰好能看见 C 处的树木，则正 方形小城的边长为（ A．105 步 ） B．200 步 C．250 步 D．305 步 【变式 1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作， 由刘徽于三国魏景元四年（公元 263 年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题 都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、 远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础． 《海岛算经》中的第 4 道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九 尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段 MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺 ABC， ∠ACB＝90°，AC＝6 尺，A，C，N 在一条直线上，CN⊥MN，从点 A 处望山谷底部 M 处时，视线经过 BC 上的点 E 处，测得 EC 长为 9 尺 1 寸；将三角尺沿着射线 CA 方向向上平移 3 丈得到△ �′ �′ �′ ，从�′ 处望山 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 谷底部 M 处时，视线经过�′ �′ 上的点 F 处，测得��′ 长为 8 尺 5 寸．求山谷深 CN 为几丈．（注：1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸） 【题型 2 相似三角形的应用（影长问题）】 【例 2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在 8：30 测得某树的影长为 16m，13：00 时又测得该 树的影长为 4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ A．10m B．8m C．6m ） D．4m 【变式 2-1】 （2022·江苏徐州·中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱 AB，其旁边有一个坡面��， 坡角∠��� = ��∘ ．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为���cm，在坡面上的影长为���cm．同一时刻， 小明测得直立于地面长 60cm 的木杆的影长为 90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱 AB 的高度． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆��，在灯光下，小明在点 D 处，自 己的影长�� = �m，沿��方向到达点 F 处再测自己的影长�� = �m，如果小明的身高为 1.6m，求路灯杆�� 的高度． 【变式 2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B，当她走到 P 点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯 A 的底部,当她向前再步行 12m 到 Q 点时，发现她身前影子 的顶端刚好接触到路灯 B 的底部.已知小萌的身高是 1.6m，两路灯的高度都是 9.6m，且 AP=QB=x m. (1)求两路灯之间的距离. (2)当小萌在 A，B 之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗?请说明理由. 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 3 关注微信公众号：明悉数学 相似三角形的应用（杠杆问题）】 【例 3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF 是一个杠杆，可绕支点 O 自由转动，若动力�动 和阻力�阻 的施力 方向都始终保持竖直向下，当阻力�阻 不变时，则杠杆向下运动时�动 的大小变化情况是（ A．越来越小 B．不变 C．越来越大 ） D．无法确定 【变式 3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，�是支点，当用力压杠杆的� 端时，杠杆绕�点转动，另一端�向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆�端必须向 上翘����，已知杠杆上的��与��长度之比为�: �，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的�端向下压多少 厘米？ 【变式 3-2】一根均匀的木棒 OA 所受重力 G=10N，小亮以木棒的一端 O 为支点，竖直向上将木棒的另一 端 A 缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为 F，若点 B 为 OA 的中点，AC，BD 分别垂直地面于 点 C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力 F 的大小为（ A．5N B．10N ） C．15N D．20N 【变式 3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点 O 为支点的杠杆，在 A 端用竖直向上的拉力将重 为 G 的物体匀速拉起，当杠杆 OA 水平时，拉力为 F；当杠杆被拉至 OA1 时，拉力为 F1，过点 B1 作 B1C⊥ OA，过点 A1 作 A1D⊥OA，垂足分别为点 C、D．在下列结论中： 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 ①△ ��� � ∽△ ��� �；②OA•OC=OB•OD；③OC•G=OD•F1；④F=F1，正确的是（ A．①②④ 【题型 4 B．②③④ C．①②③ ） D．①②③④ 相似三角形的应用（建筑物问题）】 【例 4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元 3 世纪人，是中国历史上最 杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一 个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间 的距离 BD＝1000 步，点 D、B、H 成一线，从 B 处退行 123 步到点 F 处，人的眼睛贴着地面观察点 A，点 A、C、F 也成一线，从 DE 退行 127 步到点 G 处，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线，试计算山峰的 高度 AH 及 BH 的长（这里古制 1 步＝6 尺，1 里＝180 丈＝1800 尺＝300 步，结果用步来表示）． 【变式 4-1】（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯 铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔 为中国现存铁塔中最高的一座．某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高 度．如图，在点 C 处有一建筑物，小丽