初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 菱形的性质与判定【八大题型】 【题型 1 由菱形的性质求线段的长度】 .................................................................................................................1 【题型 2 由菱形的性质求角的度数】 .....................................................................................................................2 【题型 3 由菱形的性质求面积】 .............................................................................................................................3 【题型 4 由菱形的性质求点的坐标】 .....................................................................................................................4 【题型 5 菱形判定的条件】 .....................................................................................................................................5 【题型 6 证明四边形是菱形】 .................................................................................................................................6 【题型 7 菱形中多结论问题】 .................................................................................................................................8 【题型 8 菱形的判定与性质综合】 .........................................................................................................................9 【知识点 1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 【知识点 2 菱形的性质】 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【题型 1 由菱形的性质求线段的长度】 【例 1】（2022•青县二模）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝BD＝10，点 F 为 AD 的中点，FE⊥BD 于 E， 则 EF 的长为（ A．� � ） B． � � C． � � D．� � � 【变式 1-1】（2022 春•北碚区校级期中）如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E， 连接 OE．若 AB＝3，OE= �，则 DE 的长度为（ ） 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 A． � B． � � � 关注微信公众号：明悉数学 C． � D． � �� � 【变式 1-2】（2022 春•江汉区期中）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC．BD 相交于点 O，过点 D 作 DH⊥ AB 于点 H，连接 CH，若 AB＝2，AC＝2 �，则 CH 的长是（ A． � B．3 C． � ） D．4 【变式 1-3】（2022 春•沙坪坝区校级期中）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、 F 分别是 AB、AO 的中点，连接 EF、BF．若 AF＝1，AE= �，则 FB 的长为（ A．3 � 【题型 2 B．2 � 由菱形的性质求角的度数】 C． � ） D．3 【例 2】（2022 春•延津县期中）如图，在菱形 ABCD 中，直线 MN 分别交 AB、CD、AC 于点 M、N 和 O， 且 AM＝CN，连接 BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC 为（ A．65° B．30° ） C．25° D．20° 【变式 2-1】（2022•道里区二模）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 点 H，连接 OH，∠CAD＝20°，则∠DHO 的度数是（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．20° B．25° 关注微信公众号：明悉数学 C．30° D．40° 【变式 2-2】（2021 秋•泰和县期末）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点，连接 AE 交对角线 BD 于点 F，连接 CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 度． 【变式 2-3】（2022•玄武区二模）如图，菱形 ABCD 和正五边形 AEFGH，F，G 分别在 BC，CD 上，则 ∠1﹣∠2＝ 【题型 3 °． 由菱形的性质求面积】 【例 3】（2022•焦作模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，CD 的中点，连接 AE，AF， EE 若菱形 ABCD 的面积为 16，则△AEF 的面积为（ A．4 B．6 C．8 ） D．10 【变式 3-1】（2022 春•禹州市期中）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E，P，F 分别是线段 OB，CD，OD 的中点，连接 EP，PF，若 AC＝8，PE＝2 ��，则菱形 ABCD 的面积为（ ） 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．64 B．48 关注微信公众号：明悉数学 C．24 D．16 【变式 3-2】（2022•阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形 ABCD 的边长为 6cm，∠BAD＝ 60°，菱形 A'B'C'D'可以看作是由菱形 ABCD 沿 CA 方向平移 2 �cm 得到，AD 交 C'D'于点 E，则重叠 部分的面积为（ A．8 � ）cm2． B．9 � C．10 � D．11 � 【变式 3-3】（2022•蓝田县二模）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝120°，点 P 为边 AB 上一点（点 P 不与 端点重合），连接 CP，点 E、F 分别为 AP、CP 的中点，连接 EF，若 EF＝2，则菱形 ABCD 的面积为 （ A．8 【题型 4 ） B．8 � C．9 D．9 � 由菱形的性质求点的坐标】 【例 4】（2022•东丽区一模）如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是（−� � ， �），（﹣ 1，− �），对角线相交于点 O，则点 C 的坐标为（ A．（−� � ， − �） ） B．（� � ， − �） C．（1，− �） D．（﹣1， �） 【变式 4-1】（2022•太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形 OABC 为菱形，O 为原点，A 点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为（ ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．（4，2 �） 关注微信公众号：明悉数学 B．（2 �，4） C．（2 �，6） D．（6，2 �） 【变式 4-2】（2022•西平县模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的顶点 B 在 x 轴上，且 OB＝8cm，∠AOB＝60°．点 D 从点 O 出发，沿 O→A→B→C→O 以 2cm/s 的速度做环绕运动，则第 85 秒时，点 D 的坐标为（ A．(� �，�) ） B．(�，� �) C．(�，� �) D．(� �，�) 【变式 4-3】（2022•巧家县二模）如图，菱形 ABCD 的四个顶点位于坐标轴上，对角线 AC，BD 交于原点 O，线段 AD 的中点 E 的坐标为( − �，�)，P 是菱形 ABCD 边上的点，若△PDE 是等腰三角形，则点 P 的坐标可能是 【知识点 3 ． 菱形的判定】 ①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【题型 5 菱形判定的条件】 【例 5】（2022 春•房山区期中）在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O．现存在以下四个条件： ①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC 平分∠DAB． 从中选取三个条件，可以判定四边形 ABCD 为菱形．则可以选择的条件序号是 （写 出所有可能的情况）． 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 5-1】（2022•海淀区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 O 的直线分别交边 BC，AD 于点 E，F，连接 AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是菱形，这个条件可以是 （写 出一个即可）． 【变式 5-2】（2022 春•无锡期中）如图，已知点 E、F 分别是四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，G、H 分别是对角线 BD、AC 的中点，要使四边形 EGFH 是菱形，则四边形 ABCD 需满足的条件是（ A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD ） D．AD＝BC 【变式 5-3】（2022•上海模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，平行四边形 BCDE 的顶点 E 在边 AB 上，联结 CE、AD．添加一个条件，可以使四边形 ADCE 成为菱形的是（ A．CE⊥AB 【题型 6 B．CD⊥AD C．CD＝CE ） D．AC＝DE 证明四边形是菱形】 【例 6】（2022 春•泗洪县期中）如图，点 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，连接 DE，EF，AE．