初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 概率的进一步认识 【题型 1 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 .................................................................................................1 【题型 2 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 .................................................................................................2 【题型 3 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 .................................................................................3 【题型 4 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 .....................................................................................4 【题型 5 列举法或树状图求概率（电路问题）】 .................................................................................................4 【题型 6 列举法或树状图求概率（数字问题）】 .................................................................................................6 【题型 7 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 .........................................................................................6 【题型 8 利用频率估计概率】 ................................................................................................................................. 7 【题型 9 统计概率综合】 ......................................................................................................................................... 9 【知识点 1 用列表法求概率】 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用 列表法。 列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与 方式，并求出概率得方法。 【知识点 2 用树状图求概率】 当一次试验要涉及 3 个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常 采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【题型 1 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【例 1】（2022•兰考县二模）现有 A、B 两个不透明的盒子，A 盒里有两张卡片，分别标有数字 1、2，B 盒里有三张卡片，分别标有数字 3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从 A 盒、 B 盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于 5 的概率为（ ） 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 � � A． B． � � 关注微信公众号：明悉数学 C． � � � D． � 【变式 1-1】（2022•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3 的不透明卡片，它们除数字 外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机 抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n）在第二象限的概率为（ � � A．� B．� � C．� ） � D．� 【变式 1-2】（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建 党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影 片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出 一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ． 【变式 1-3】（2022•新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字 0，﹣9，﹣3，8，把 卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是 0 的概率是（ A． � �� 【题型 2 � B． � C． 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 � � ） � D． � 【例 2】（2022•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1” 区域的概率是（ � A． � ） � B． � C． � � � D． � 【变式 2-1】（2022•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重 新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 � � A． B． � � 关注微信公众号：明悉数学 C． � � D． � � 【变式 2-2】（2022•盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被 3 等分，指针落在每个扇形内的机 会均等． （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向 2 的概率为 ； （2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状 图的方法说明理由． 游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小 华胜． 【变式 2-3】（2022•沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转 盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向 某一扇形区域为止． （1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ． （2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为 5 的概率． 【题型 3 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【例 3】（2022•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1，2，3， 4 的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之 积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（ A． � �� � B． � C． � � ） � D． � 【变式 3-1】（2022•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了 2 个红球，1 个黑球，1 个白球，这些球除 颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出 2 个球，摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为 ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 3-2】（2022 秋•中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的 口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两 次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ � � A．� ） � B．� C．� � D．� 【变式 3-3】（2022•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的 6 个小球，其中有 3 个小球是白色 的，2 个小球是红色的，1 个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（ � � A． � 【题型 4 B． C． � � � 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 ） � D． � 【例 4】（2022•同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有 4 个分别标有数字 1、2、 3、4 的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为 m，然后将小球放回．再 由小华摸球，小华摸到的小球数字记为 n．如果 m，n 满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则 小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（ � ） � A． B． � � C． � � � D． � 【变式 4-1】（2022•宛城区一模）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都 相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第 2 个球．则两次摸出的球颜 色相同的概率是（ � A． � ） � B． � C． � � � D． � 【变式 4-2】（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中， 这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次 摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（ � A． � � B． � ） C． � � D． � �� 【变式 4-3】（2022 春•郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共 4 个，它 们除颜色外完全相同，其中红球有 2 个，蓝球有 1 个．小明从盒子里随机摸出 1 个小球，然后放回摇匀， 再随机摸出 1 个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝的概率是（ � A．� 【题型 5 � B．� � C．� 列举法或树状图求概率（电路问题）】 ） � D．� 【例 5】（2022•武汉模拟）如图，电路图上有三个开关 S1，S2，S3 和两个小灯泡 L1，L2，随机闭合开关 S1， 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 S2，S3 中的两个