初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇） 【题型 1 利用根与系数的关系降次求值】 ...............................................................................................................1 【题型 2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 ...................................................................................................1 【题型 3 利用一元二次方程求最值】 ..................................................................................................................... 2 【题型 4 利用一元二次方程的根求取值范围】 .......................................................................................................2 【题型 5 一元二次方程中的新定义问题】 ...............................................................................................................3 【题型 6 一元二次方程中的规律探究】 ...................................................................................................................4 【题型 7 一元二次方程在几何中的动点问题】 .......................................................................................................5 【题型 8 一元二次方程与几何图形的综合问题】 ...................................................................................................7 【题型 1 利用根与系数的关系降次求值】 【例 1】（2023 春·安徽池州·九年级统考期末）已知�和�是方程�2 + 2023� + 1 = 0 的两个根，则 �2 + 2024� + 2 �2 + 2024� + 2 的值为（ A．−2021 ） B．2021 C．−2023 D．2023 【变式 1-1】（2023 春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知�，�是方程�2 − � − 1 = 0 的两根，则代 数式 2�3 + 5� + 3�3 + 3� + 1 的值是（ A．19 B．20 ） C．14 D．15 【变式 1-2】 （2023 春·全国·九年级专题练习）已知�是方程�2 − 2021� + 1 = 0 的一个根，则�3 − 2021�2 − 2021 �2 +1 = �3 +�2 � 【变式 1-3】（2023 春·四川自贡·九年级统考期末）若 m、n 是一元二次方程�2 + 2� − 1 = 0 的两个实数根，则 的值为（ ） A．1 【题型 2 B．-1 C．2 D．-2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 【例 2】（2023 春·上海青浦·九年级校考期末）解方程： (1) � + 2 − 8 − � = 2； (2) 2� �2 −2�−3 − 1 �−3 = 1； (3)2�2 − 3 2�2 − 1 + 1 = 0 【变式 2-1】（2023 春·上海·九年级期中）解方程：��2 − 3 = �2 + 2 � ≠ 1 【变式 2-2】（2023 春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解： 解方程：�3 − � = 0． 1 ． 2�−1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 解：方程左边分解因式，得 �(� + 1)(� − 1) = 0， 解得�1 = 0，�2 = 1，�3 =− 1． 问题解决： （1）解方程：4�3 − 12�2 − � = 0． （2）解方程：(�2 − �)2 − 3(�2 − �) = 0． （3）方程(2�2 − � + 1)2 − 2(2�2 − �) − 5 = 0 的解为 ． 【变式 2-3】（2023 春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程： (1)�4 + 2�3 − 9�2 − 2� + 8 = 0； (2)|� − 1| + |� − 2| + |2� − 3| = 4； (3)�2 + �2 + �� − 3� + 3 = 0． 【题型 3 利用一元二次方程求最值】 【例 3】（2023 春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数�, �, �满足�2 + �2 + �2 − �� − �� − �� = 27，则 � − � 的最大值为 . 【变式 3-1】 （2023 春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数 x，y 满足�2 + 3� + � − 3 = 0，则 x+y 的最大值为 【变式 3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当� = 最小值，这个最小值是 ． ，� = ． 时，多项式�2 − 2�� + 2�2 − 2� − 4� + 25 有 【变式 3-3】（2023 春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料： 丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽 丽发现像 m+n，mnp， m2 +n2 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这 样的式子命名为神奇对称式. 她还发现像�2 + �2 ，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用��, � + �表示.例如：�2 + �2 = (� + �)2 − 2��， 1)(� − 1) = �� − (� + �) + 1.于是丽丽把�� 和 � + �称为基本神奇对称式 . (� − 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式① 1 �� � ， ②�2 − �2 ， ③ ， ④ xy + yz + zx 中，属于神奇对称式的是__________（填序号）； � （2）已知(� − �)(� − �) = �2 − �� + �. ① q=__________（用含 m，n 的代数式表示）； 1 1 ② 若� = 3， � =− 2，则神奇对称式 + =__________； ③ 若 p2 − q = 0 ，求神奇对称式 【题型 4 � �3 +1 � � + �3 +1 � 的最小值. 利用一元二次方程的根求取值范围】 【例 4】（2023 春·四川眉山·九年级校考期中）关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a＝0 有两个不等的实数根 x1，x2，且 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 x1＜1＜x2，那么 a 的取值范围是（ 2 2 A．﹣ ＜a＜ 7 5 B．a＞ ） 2 C．a＜﹣ 5 2 2 D．﹣ ＜a＜0 7 11 【变式 4-1】（2023 春·全国·九年级期中）已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2+px+q＝0 的两个不相等的实数根， 且 m2+mn+n2＝3，则 q 的取值范围是 ． 【变式 4-2】（2023 春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）关于�的方程(1 − �2 )�2 − 2�� − 1 = 0 的所有根都 是比 2 小的正实数，则实数�的取值范围是 ． 【变式 4-3】 （2023 春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于 x 的方程(�2 − 5� + 6)�2 − (3 − �)� + 1 4 = 0 无解，则 m 的取值范围是 【题型 5 ． 一元二次方程中的新定义问题】 【例 5】（2023 春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知�1 ，�2 是关于 x 的一元二次方程��2 + �� + � = 0 � ≠ 0 的两个实数根，若�1 < �2 < 0，且 3 < �1 �2 < 4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程�2 + 13� + 30 = 0 的两根为�1 =− 10，�2 =− 3，因−10 <− 3 < 0，3 < −10 请阅读以上材料，回答下列问题： −3 < 4，所以一元二次方程�2 + 13� + 30 = 0 为“限根方程”． (1)判断一元二次方程�2 + 9� + 14 = 0 是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于 x 的一元二次方程 2�2 + � + 7 � + �2 + 3 = 0 是“限根方程”，且两根�1 、�2 满足�1 + �2 + �1 �2 =− 1， 求 k 的值； (3)若关于 x 的一元二次方程�2 + 1 − � � − � = 0 是“限根方程”，求 m 的取值范围． 【变式 5-1】（2023 春·浙江杭州·九年级校考期中）定义：如果关于 x 的方程�1 �2 + �1 � + �1 = 0（�1 ≠ 0，�1 、�1 、 �1 是常数）与�2 �2 + �2 � + �2 = 0（�2 ≠ 0，�2 、�2 、�2 是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项 分别满足�1 + �2 = 0，�1 = �2 ，�1 + �2 = 0，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程 2�2 − 3� + 1 = 0 的“对 称方程”是−2�2 − 3� − 1 = 0，请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程�2 − 4� + 3 = 0 的“对称方程”； (2)若关于 x 的方程 3�2 + � − 1 � − � = 0 与−3�2 − � =− 1 互为“对称方程”，求 m、n 的值及 3�2 + � − 1 � − � = 0 的解． 【变式 5-2】（2023 春·江苏泰州·九年级