初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【相似三角形的性质】 【题型 1 利用相似三角形的性质求角度】 .................................................................................................................2 【题型 2 利用相似三角形的性质求线段长度】 ........................................................................................................ 3 【题型 3 利用相似三角形的性质求面积】 .................................................................................................................3 【题型 4 利用相似三角形的性质求周长】 .................................................................................................................4 【题型 5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 ........................................................................................5 【题型 6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】 ........................................................................... 6 【题型 7 尺规作图作相似三角形】 ............................................................................................................................. 7 【题型 8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 ................................................................................................ 8 【题型 9 新定义中的相似三角形】 ............................................................................................................................. 9 【题型 10 相似与函数综合探究】 ............................................................................................................................... 11 【知识点 1 相似三角形的性质】 ①相似三角形的对应角相等． 如图， △ ABC∽△ AB C  ，则有 A  A ，B  B  ，C  C  ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， △ ABC∽△ AB C  ，则有 AB BC AC    k （ k 为相似比）． AB BC  AC  ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成 比例，都等于相似比． 如图， △ABC ∽ △AB C  ， AM 、AH 和 AD 是 △ABC 中 BC 边上的中线、高线和角平分线， AM  、 AH  和 AD 是 △AB C  中 BC  边上的中线、高线和角平分线，则有 AB BC AC AM AH AD   k   A  B  B C  A  C  A M  A H  A D  ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图， △ABC ∽ △AB C  ，则有 AB BC AC AB  BC  AC    k． A  B  B C  A  C  A  B   B C   A  C  1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， △ABC ∽ △AB C  ，则有   BC  AH S △ ABC BC AH      k      S △ A  B C  B C A H  B C   A  H   【题型 1 利用相似三角形的性质求角度】 【例 1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）已知△ABC~△DEF，若∠A=50°，∠E=70°，则∠F 的度 数为（ A．30° ） B．60° C．70° D．80° 【变式 1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°， ∠D＝117°，则∠BCD 的度数是（ A．32° B．48° ） C．64° D．86° 【变式 1-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ ���和△ ���，则 ∠��� + ∠���的度数为（ A．135° ） B．90° C．60° D．45° 【变式 1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）如图，点�、�、�、�四点共线，����是等边三角形，当���� ∼ ����时，∠���的度数为（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．���° 【题型 2 B．���° 关注微信公众号：明悉数学 C．���° D．���° 利用相似三角形的性质求线段长度】 【例 2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱����中，�� = ��，�� = �，�是��的中点，在�� 上取一点�，使△ ���∽△ ���，则��的长是（ A．�. � B．�. � C．� B．2 C．3 ） D．�. � 【变式 2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1∶2，若 BC＝1，则 EF 的 长是（ A．1 ） D．4 【变式 2-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知△ ��� ∽△ ���，△ ABC 的三边长分别为 �， ��，3， △ DEF 的其中的两边长分别为 1 和 �，则第三边长为______． 【变式 2-3】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中� =___． 【题型 3 利用相似三角形的性质求面积】 【例 3】 （2022·陕西渭南·九年级阶段练习）若△ ��� ∽△ ���，△ ���与△ ���的面积比为��: ��，则△ ��� 与△ ���的对应边的比是（ ） 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．�: � B．�: � 关注微信公众号：明悉数学 C．��: �� D．��: �� C．9 D．12 【变式 3-1】（2022·河南新乡·九年级期末）△ ���与△ �′ �′ �′ 的位似比是�: �，已知△ ���的面积是 3， 则△ �′ �′ �′的面积是（ A．3 ） B．6 【变式 3-2】（2022·河北石家庄·九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的 3 倍，则它的面积扩大 为原来的__________倍． 【变式 3-3】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC ＝5，点 D 是线段 BC 上一动点，连结 AD，以 AD 为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE 的最小面积 等于______． 【题型 4 利用相似三角形的性质求周长】 【例 4】（2022·湖南株洲·九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为 3，4，5，另一个与它相似的直角 三角形的最小边长为 7，则另一个直角三角形的周长是（ A． �� � B． �� � C．21 ） D．28 【变式 4-1】（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为 1 的正方形组成的网络，△ABC 与△A1B1C1 都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC 与△A1B1C1 的周长之 比是（ ） A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9 【变式 4-2】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知△ ��� ∽△ ���，其中�� = ��，�� = �， �� = �，�� = �，那么△ ���的周长是______． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 4-3】（2022·辽宁鞍山·二模）已知△ ���∽ △ �′ �′�′ ，且�� = ��′ �′ ．若△ ���的周长是��cm， 那么△ �′ �′�′ 的周长是________cm． 【题型 5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】 �� �� 【例 5】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知��平分∠���，�� = ��． (1)求证：∠E=∠C； (2)若 AB=9，AD=5，DC=3，求 BE 的长． 【变式 5-1】（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，在△ ���中，点�、点�分别在��、��上， 点�是��上的一点，联结��并延长交��于点�，且∠� = ∠��� = ∠���． (1)求证：�� ⋅ �� = �� ⋅ ��； (2)若∠��� = ��°，求证：�� ⊥ ��． 【变式 5-2】（2022·山东·东平县江河国际实验学校二模）如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 BC，AC 上， 连接 AD，DE． （1）若∠C=∠BAD，AB=5，求 BD·BC 的值； （2）若点 E 是 AC 的中点，AD= �AE， 求证：∠1=∠C． 【变式 5-3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在△ABC 中，D、E、F 分别是边 AC，AB，BC 上的点， DE∥B