初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【图形的位似变换】 【题型 1 位似图形的相关概念辨析】 ......................................................................................................................... 1 【题型 2 判断位似中心】 .............................................................................................................................................. 2 【题型 3 求位似图形的相似比】 ..................................................................................................................................3 【题型 4 求位似图形的长度】 ......................................................................................................................................4 【题型 5 求位似图形的面积】 ......................................................................................................................................5 【题型 6 求位似图形的周长】 ......................................................................................................................................6 【题型 7 求位似图形的坐标】 ......................................................................................................................................7 【题型 8 格点中作位似图形】 ......................................................................................................................................9 【知识点 1 位似图形】 1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P , P ' 所在的直线都经过同一点 O ，且有 OP ' = k  OP  k  0  ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数 k  k  0  ， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 k 【题型 1 位似图形的相关概念辨析】 【例 1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个 �� 相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ ���与△ �′ �′ �′中， ′ � �′ = �� �′ �′ ，∠� = ∠�′，那么△ ��� ∼ △ �′ �′�′ ；④已知△ ���及位似中心 O，能够作一个且只能作一个三角形与△ ���位似，使位似比为 2 其 中真命题的个数是（ A．1 个 ） B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式 1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（ ） 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形 C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部 【变式 1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（ ） ①位似图形都相似； ②两个等腰三角形一定相似； ③两个相似多边形的面积比是�: �，则周长比为�: �； ④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长 2，那么这两个矩形一定相似． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式 1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的 4 个表述中： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似 图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 正确的个数( A．1 个 【题型 2 ) B．2 个 C．3 个 D．4 个 判断位似中心】 【例 2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形����和正方形����是位似图形，且点 D 与点 G 是 一对对应点，点� �，� ，点� �，� ，则它们位似中心的坐标是（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．( − �，�) 关注微信公众号：明悉数学 B．( − �，�) C．(�，�) B．点 O C．点 M D．( − �，�) 【变式 2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是 （ ） A．点 P D．点 N 【变式 2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形����和四边形����是位似图形，它们的位似中 心是（ ） A．点 E 【题型 3 B．点 F C．点 G D．点 D 求位似图形的相似比】 【例 3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为 1 的正方形网格中，△ABC 与△DEF 是位似图形，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ）． A． � � B． � � C． � D．2 � 【变式 3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ ���与△ ���位似，位似中心为点 O，△ ��� 的面积与△ ���面积之比为 16：9，则��: ��的值为（ ） 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．3：4 关注微信公众号：明悉数学 B．4：7 C．4：3 D．7：4 【变式 3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△ ���缩小后得到△ ���，则△ ���与△ ���的相 似比为______． 【变式 3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ ���三个顶点�(�, �)、�(�, �)、�(�, − �)，以原点为位似 中心，得到的位似图形△ �'�'�'三个顶点分别为�'(�, �)，�'(�, 似比是________． 【题型 4 � � � � )，�( , − )，则△ �'�'�'与△ ���的位 � � 求位似图形的长度】 【例 4】（2022·重庆·一模）如图，△ ���与△ ���是位似图形，且位似中心为 O，��: �� = �: �，若线段 �� = �，则线段 DE 的长为（ ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．� B．� 关注微信公众号：明悉数学 C．� D．� 【变式 4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位 似图形，且 �� � � = ，若点 A（﹣1，0），点 C（ ，1），则 A′C′=_____． ��' � � 【变式 4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知�(�, �)、�(�, �)两点，以坐标原 � 点�为位似中心，相似比为�，把线段��缩小后得到线段�'�'，则�'�'的长度等于________． 【变式 4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形����中，�� = �，�� = �．若矩形����与矩 形����位似，点 F 在矩形����的内部，且相似比为�: �，则点 C、F 之间的距离为_________． 【题型 5 求位似图形的面积】 【例 5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ ���与△ ���成位似图形，位似中 心为点�，若��: �� = �: �，则△ ���与△ ���面积之比为（ A．�: � B．�: � C．�: � ） D．�: �� 【变式 5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ ���与△ �′�′�′位似，位似中心为点 O，��′ = ���′，△ ���的面积为 9，则△ �′�′�′面积为（ ） 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．4 关注微信公众号：明悉数学 � B．6 � C． D． � � 【变式 5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱����的面积为 24，以 B 为位似中心，作▱���� � 的位似图形▱����，位似图形与原图形的位似比为 ，连接 AG、DG．则△ ���的面积为________． � 【变式 5-3】 （2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形�� �� �� �� 与正方形�� �� �� �� 是以�为位似中心的位似图形，且位似比为，点�� ，�� ，�� 在�轴上，延长�� �� 交射线��� 与点�� ，以�� �� 为边作正方形�� �� �� �� ；延长�� �� 交射线��� 与点�� ，以�� �� 为边作正方形�� �� �� �� ；…按照这样的规 律继续下去，若��� = �，则正方形����� ����� ����� ����� 的面积为________． 【题