四边形中的最值问题专项训练（30 道） 考卷信息： 本套训练卷共 30 题，选择 15 题，填空 15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形 中最值问题模型的记忆与理解！ 1．（2021 春•德阳期末）如图，将矩形 ABCD 放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，矩形的形状保持不变，若 AB＝2，BC＝1，则顶点 C 到坐标原点 O 的最大距离为（ A．1+ 2 B．1+ 3 C．3 ） D． 5 2．（2021 春•西岗区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P 为边 BC 上一动点， PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 的中点，则 AM 的最小值是（ A．2.4 B．2 C．1.5 ） D．1.2 3．（2021 春•龙口市期末）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 P 为对角线 AC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥BC 于 F，则 EF 的最小值为（ ） 1 A．6 2 B．3 2 C．4 D．3 4．（2021 春•重庆期末）如图，以边长为 4 的正方形 ABCD 的中心 O 为端点，引两条互相垂直的射线，分 别与正方形的边交于 E、F 两点，则线段 EF 的最小值是（ A． 2 B．2 C． 8 ） D．4 5．（2021 春•马鞍山期末）如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝45°，�� = 2 3，E，F 分别是边 CD，BC 上的 动点，连接 AE 和 EF，G，H 分别为 AE，EF 的中点，连接 GH，则 GH 的最小值为（ A． 3 B． 6 2 C． 6 3 ） D．1 6．（2021 春•潜山市期末）如图，点 E 是边长为 8 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点，以 AE 为边向 左侧作正方形 AEFG，点 P 为 AD 的中点，连接 PG，在点 E 运动过程中，线段 PG 的最小值是（ ） 2 A．2 B． 2 C．2 2 D．4 2 7．（2021 春•蚌埠期末）如图，矩形 ABCD 中，AB：AD＝2：1，点 E 为 AB 的中点，点 F 为 EC 上一个动 点，点 P 为 DF 的中点，连接 PB．若 PB 的最小值为 5 2，则 AD 的值为（ A．5 B．6 C．7 ） D．8 8．（2021 春•南安市期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 P 在 AD 上，点 Q 在 BC 上，且 AP＝CQ，连接 CP，QD，则 PC+QD 的最小值为（ A．8 B．10 ） C．12 D．20 9．（2021 春•连云港期末）如图，线段 AB 的长为 8，点 D 在 AB 上，△ACD 是边长为 3 的等边三角形，过 点 D 作与 CD 垂直的射线 DP，过 DP 上一动点 G（不与 D 重合）作矩形 CDGH，记矩形 CDGH 的对角 线交点为 O，连接 OB，则线段 BO 的最小值为（ A．5 B．4 C．4 3 ） D．5 3 10．（2021 春•惠山区期中）如图，平面内三点 A、B、C，AB＝5，AC＝4，以 BC 为对角线作正方形 BDCE， 连接 AD，则 AD 的最大值是（ ） 3 A．5 B．9 C．9 2 D． 9 2 2 11．（2021 春•邗江区期末）如图，以边长为 4 的正方形 ABCD 的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线， 分别与正方形的边交于 E、F 两点，则线段 EF 的最小值为（ A．2 B．4 C． 2 ） D．2 2 12．（2021•宁蒗县模拟）如图，菱形 ABCD 的的边长为 6，∠ABC＝60°，对角线 BD 上有两个动点 E、F （点 E 在点 F 的左侧），若 EF＝2，则 AE+CF 的最小值为（ A．2 10 B．4 2 C．6 ） D．8 13．（2021 春•宜兴市期中）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 BC、CD 上的动点， 且 BE＝CF，连接 BF、DE，则 BF+DE 的最小值为（ A． 12 B． 20 C． 48 ） D． 80 14．（2021 春•重庆期末）如图，矩形 ABCD 中，AB＝2 3，BC＝6，P 为矩形内一点，连接 PA，PB，PC， 则 PA+PB+PC 的最小值是（ ） 4 A．4 3 +3 B．2 21 C．2 3 +6 D．4 5 15．（2021•江阴市模拟）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，点 E、F、G 分别在边 AB、AD、CD 上， EG 与 BF 交于点 I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则 DI 的最小值等于（ A． 5 +3 B．2 13 −2 6 C．2 10 − 5 ） D．2 2 +3 16．如图，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC＝6，BD＝8，点 P 是 BC 边上的一动点，则 AP 的最小值 为 ． 17．（2021 春•椒江区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，连接 BD，E 为 BD 上一动点，P 为 CE 中点，连接 PA，则 PA 的最小值是 ． 18．（2021 春•宁德期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 E 是 CD 上一个动点，点 F，G 分 别是 AB，AE 的中点，则线段 FG 的最小值是 ． 5 19．（2021 春•东海县期末）如图，在菱形 ABCD 中，AC＝24，BD＝10，对角线交于点 O，点 E 在 AD 上， 1 且 DE = AD ， 点 F 是 OB 的 中 点 ， 点 G 为 对 角 线 AC 上 的 一 动 点 ， 则 GE ﹣ GF 的 最 大 值 4 为 ． 20．（2021•淄博）两张宽为 3cm 的纸条交叉重叠成四边形 ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线 BD 上的动点 P 到 A，B，C 三点距离之和的最小值是 ． 21．（2021 春•龙岩期末）如图，正三角形 ABC 与正方形 CDEF 的顶点 B，C，D 三点共线，动点 P 沿着 CA 由 C 向 A 运动．连接 EP，若 AC＝10，CF＝8．则 EP 的最小值是 ． 22．（2021 春•茅箭区校级期末）如图，已知线段 AB＝12，点 C 在线段 AB 上，且△ACD 是边长为 4 的等 边三角形，以 CD 为边在 CD 的右侧作矩形 CDEF，连接 DF，点 M 是 DF 的中点，连接 MB，则线段 6 MB 的最小值为 ． 23．（2021•北仑区二模）如图，△ABC 的边 AB＝3，AB 边上的中线 CM＝1，分别以 AC，BC 为边向外作 正 方 形 ACGH 与 正 方 形 BCDE ， 连 接 GD ， 取 GD 中 点 N ． 则 点 N 到 线 段 AB 的 距 离 最 大 值 为 ． 24．（2021•眉山）如图，在菱形 ABCD 中，AB＝AC＝10，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M 在线段 AC 1 上，且 AM＝3，点 P 为线段 BD 上的一个动点，则 MP+ PB 的最小值是 2 ． 25．（2021•海安市二模）如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，E 在边 BC 上运动，M、N 在对角线 BD 上运动，且 MN= 5，连接 CM、EN，则 CM+EN 的最小值为 ． 26．（2021•浙江自主招生）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点 重合），分别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B′、C′、D′，则 BB′+CC′+DD′的最 大值为 ，最小值为 ． 7 27．（2021•乾县一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，点 E 为边 AB 的中点，点 P 在对角线 BD 上且 PE+PA＝6，则 AB 长的最大值为 ． 28．（2021•寿光市二模）如图所示，四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点 P 为线段 AC 上的一个动点．过点 P 分别作 PM⊥AD 于点 M，作 PN⊥DC 于点 N．连接 PB，在点 P 运动 过程中，PM+PN+PB 的最小值等于 ． 29．（2021•河西区二模）已知正方形 ABCD 的边长为 2，EF 分别是边 BC，CD 上的两个动点，且满足 BE ＝CF，连接 AE，AF，则 AE+AF 的最小值为 ． 30．（2021 春•鹿城区校级期中）学习新知：如图 1、图 2，P 是矩形 ABCD 所在平面内任意一点，则有以 下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明． 应用新知：如图 3，在△ABC 中，CA＝4，CB＝6，D 是△ABC 内一点，且 CD＝2，∠ADB＝90°，则 AB 的最小值为 ． 8 9 四边形中的最值问题专项训练（30 道） 【答案版】 考卷信息： 本套训练卷共 30 题，选择 15 题，填空 15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形 中最值问题模型的记忆与理解！ 1．（2021 春•德阳期末）如图，将矩形 ABCD 放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，矩形的形状保持不变，若 AB＝2，BC＝1，则顶点 C 到坐标原点 O 的最大距离为（ A．1+ 2 B．1+ 3 C．3 ） D． 5 【解题思路】取 AD 的中点 E，连接 OE，CE，OC，求得 CE= 2，OE＝1，再根据 OC≤CE+OE＝1+ 2， 即可得到点 C 到原点 O 距离的最大值是 1+ 2． 【解答过程】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OE，CE，OC， ∵∠AOB＝90°， 1 ∴Rt△AOB 中，OE= AB＝1， 2 又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1， ∴Rt△CBE 中，CE= 12 + 12 = 2， 又∵OC≤CE+OE＝1+ 2， ∴OC 的最大值为 1+ 2， 即点 C 到原点 O 距离的最大值是 1+ 2， 故选：A． 10 2．（2021 春•西岗区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P 为边 BC 上一动点， PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，M 为 EF 的中点，则 AM 的最小值是（ A．2.4