初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇） 【题型 1 一元二次方程的相关概念辨析】 ...............................................................................................................1 【题型 2 一元二次方程的解的估算】 ....................................................................................................................... 1 【题型 3 配方法的应用】 ........................................................................................................................................... 2 【题型 4 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 ...............................................................................................3 【题型 5 根据一元二次方程根的情况求参数】 .......................................................................................................3 【题型 6 一元二次方程的一般解法】 ....................................................................................................................... 4 【题型 7 换元法解一元二次方程】 ........................................................................................................................... 4 【题型 8 根的判别式与根与系数关系的综合】 .......................................................................................................5 【题型 9 一元二次方程中的阅读理解类问题】 .......................................................................................................5 【题型 10 一元二次方程的实际应用】 ....................................................................................................................... 7 【题型 1 一元二次方程的相关概念辨析】 【例 1】 （2023 春·湖南益阳·九年级校考期中）若方程(� − 1)� � +1 − 2� = 5 是关于 x 的一元二次方程，则� = 【变式 1-1】（2023 春·九年级课时练习）下列方程中属于一元二次方程的是（ 1 A．2(� + 1)2 = � + 1 ． ） 1 B． 2 + = 0 � C．�� − �2 = 2 � D．�2 + 3� = �2 − 2 【变式 1-2】（2023 春·河南开封·九年级统考期中）把方程 x2+2（x-1）=3x 化成一般形式，其一次项系数为 【变式 1-3】（2023 春·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）两个关于 x 的一元二次方程��2 + �� + � = 0 和 ��2 + �� + � = 0，其中 a，b，c 是常数，且� + � = 0，如果� = 2 是方程��2 + �� + � = 0 的一个根，那么下列各 数中，一定是方程��2 + �� + � = 0 的根的是（ A．2 【题型 2 B．−2 ） C．±1 D．1 一元二次方程的解的估算】 【例 2】（2023 春·福建漳州·九年级校考期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0 的一个正数解 x 的大致范围为（ ） A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 【变式 2-1】（2023 春·山东青岛·九年级统考期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程�2 +12x﹣15=0 必有一个 解 x 满足（ ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 【变式 2-3】（2023 春·江苏·九年级校联考阶段练习）根据表格中的数据： x 0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c 28 18 10 4 ﹣2 估计一元二次方程 ax2+bx+c＝6（a，b，c 为常数，a≠0）一个解 x 的范围为（ A．0.5＜x＜1 【题型 3 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 ） D．2＜x＜3 配方法的应用】 【例 3】（2023 春·河北石家庄·九年级统考期末）已知 a，b，c 是不等边△ABC 的三边长，满足 a2＋b2＝6a＋8b－ 25，则最长边 c 的范围（ A．1＜c＜7 ） B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4 【变式 3-1】 （2023 春·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于�的一元二次方程：�(� − �)2 + � = 0 与�(� − �)2 + � = 0，称为“同类方程”．如 2(� − 1)2 + 3 = 0 与 6(� − 1)2 + 3 = 0 是“同类方程”．现有关于�的一元二次方程：2(� − 1)2 + 1 = 0 与(� + 6)�2 − (� + 8)� + 6 = 0 是“同类方程”．那么代数式��2 + �� + 2022 能取的最大值 是 ． 【变式 3-2】（2023 春·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数�、�、�满足�2 − 4� + �2 + 4� − 2�� + � = 2018，则 实数�的最大值为 ． 【变式 3-3】 （2023 春·四川内江·九年级校考期中）若 a，b，c 满足� + � + � = 2 � + 1 + 4 � + 1 + 6 � − 16，则� � + � +� �+� +� �+� = ； 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 4 关注微信公众号：明悉数学 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例 4】（2023 春·山东烟台·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，若直线� =− 3� + �不经过第一象限，则关于� 的方程��2 + � + 2023 = 0 的实数根的个数为（ A．0 个 B．1 个 ） C．2 个 D．1 或 2 个 【变式 4-1】（2023 春·福建宁德·九年级统考期中）对于一元二次方程��2 + �� + � = 0（� ≠ 0），下列说法： ①若� − � + � = 0，则它有一根为－1； ②若方程��2 + � = 0 有两个不相等的实根，则方程��2 + �� + � = 0 必有两个不相等的实根； ③若 c 是方程��2 + �� + � = 0 的一个根，则一定有�� + � + 1 = 0 成立； ④若� = 2� + 3�，则一元二次方程��2 + �� + � = 0 有两个不相等的实数根；其中正确的 ． 【变式 4-2】（2023 春·安徽亳州·九年级校考期中）已知关于 x 的一元二次方程�2 − 2�� + �2 − 1 = 0． (1)判断方程的根的情况； (2)若△ ���为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求 m 的值． 【变式 4-3】（2023 春·安徽安庆·九年级统考期中）如图四边形����是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c 是 Rt △ ���和 Rt △ ���边长，易知�� = 2�，这时我们把关于 x 的形如��2 + 2�� + � = 0 的一元二次方程称为“勾 系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”��2 + 2�� + � = 0 必有实数根； (2)若� =− 1 是“勾系一元二次方程”��2 + 2�� + � = 0 的一个根，且四边形����的周长是 12 2，求��的值. 【题型 5 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例 5】（2023 春·山东烟台·九年级统考期中）关于�的一元二次方程��2 − 3� + 1 = 0 有两个不相等的实数根． (1)求�的取值范围． (2)是否存在�的值，使�为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的�的值；若不存在，请 说明理由． 【变式 5-1】（2023 春·浙江金华·九年级校考期中）.已知关于�的方程 � − 3 �2 + 2�� + � − 2 = 0 有解，则�的取值 . 范围是 【变式 5-2】（2023 春·山东威海·九年级校联考期末）定义新运算“*”：对于实数�，�，�，�有 �, � 例如 1,2 （ ） * 3,4 = 1 × 4 + 2 × 3 = 10，若关于�的方程 �2 + 1, � * ∗ �, � = �� + ��， 5 − 2�, � = 0 有两个实数根，则�的取值范围是 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．� ≤ 5 B．� ≥ 4 关注微信公众号：明悉数学 5 5 C