第1章 特殊的平行四边形章末测试卷（培优卷） 【北师大版】 考试时间：60 分钟；满分：100 分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共 23 题，单选 10 题，填空 6 题，解答 7 题，满分 100 分，限时 60 分钟，本卷题型针对性较高，覆盖 面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）（2021 春•长沙期末）下列叙述，错误的是（ ） A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（3 分）（2021 春•陇县期末）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，P 为边 BC 上一点，且 2BP＝AC，则∠COP 的度数为（ A．15° B．22.5° ） C．25° D．17.5° 3．（3 分）（2021•路北区二模）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 O 是 AC 的中点． 1 求证：OB= 2AC． 证明：延长 BO 到 D，使 OD＝OB，连接 AD、CD，中间的证明过程排乱了： ①∵∠ABC＝90°； ②∵OD＝OB，OA＝OC； ③∴四边形 ABCD 是平行四边形； 1 ④∴四边形 ABCD 是矩形． 1 1 ∴AC＝BD，∴OB= 2BD= 2AC． 则中间证明过程正确的顺序是（ A．①④②③ ） B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④ 4．（3 分）（2021 春•任丘市期末）如图，点 E 是△ABC 内一点，∠AEB＝90°，D 是边 AB 的中点，延长 线段 DE 交边 BC 于点 F，点 F 是边 BC 的中点．若 AB＝6，EF＝1，则线段 AC 的长为（ A．7 B． 15 2 C．8 ） D．9 5．（3 分）（2021 春•沂水县期末）如图所示，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于 O，∠ABC＝50°，E 是 线段 AO 上一点，则∠BEC 的度数可能是（ A．95° B．75° ） C．55° D．35° 6．（3 分）（2021 春•五华区期末）如图所示，点 O 为矩形 ABCD 对角线的交点，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移动到点 B 停止．延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为（ ） A．一般平行四边形→正方形→一般平行四边形→矩形 B．一般平行四边形→正方形→菱形→矩形 2 C．一般平行四边形→菱形→一般平行四边形→矩形 D．一般平行四边形→菱形→正方形→矩形 7．（3 分）（2021 春•宁乡市期末）将 2021 个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使 得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为 2，则阴影部分的周长总和等 于（ ） A．4042 B．8076 C．8080 D．8084 8．（3 分）（2021 春•临沧期末）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF ⊥CD 于点 F，连接 AP、EF，则下列结论中，不正确的是（ ） A．AP＝EF B．AP⊥EF C．PD＝2EC D．BP2+DP2＝2AP2 9．（3 分）（2021 春•淮阳区校级期末）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝3cm，E 为 CD 的中点 动点 P 从 A 点出发，以每秒 1cm 的速度沿 A→B→C→E 运动，最终到达点 E．若点 P 运动的时间为 x 秒， 则当△APE 的面积为 5cm2 时，x 的值为（ A．5 B．3 或 5 ） C． 10 3 D． 10 3 或5 10．（3 分）（2021 春•德阳期末）如图，将矩形 ABCD 放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点 A， B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，矩形的形状保持不变，若 AB＝2，BC＝1，则顶点 C 到坐标原点 O 的最大距 离为（ ） 3 A．1+ 2 B．1+ 3 C．3 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） D． 5 11．（3 分）（2021 春•长春期末）如图，分别以点 A、B 为圆心，同样长度为半径作圆弧，两弧相交于点 C、D．连结 AC、BC、AD、BD，则四边形 ADBC 一定是 ． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 12．（3 分）（2021 春•老河口市期末）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AH⊥ BC 于点 H，连接 OH，若 OB＝6，菱形 ABCD 的面积为 48，则 OH 的长为 ． 13．（3 分）（2021 春•河东区期末）如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，AB＝AD，点 E，点 F 分别是 AC，BD 的中点，EF＝3．则 AC 的长为 ． 4 14．（3 分）（2021 春•霍林郭勒市期末）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且△PBC 是等边三角形，则∠ APD＝ 度． 15． （3 分） （2021 春•米易县期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中，AB＝3，AC＝2，则四边形 ABCD 的面积为 ． 16．（3 分）（2021 春•昭通期末）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝3cm，点 E 是 CD 的中点．点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 A﹣B﹣C 匀速运动，最终到达点 C．若点 P 的运动时间为 t 秒时，三 角形 APE 的面积为 4cm2，则 t＝ 秒． 三．解答题（共 7 小题，满分 52 分） 17．（6 分）（2021 春•抚顺期末）如图，BN、CM 分别是△ABC 的两条高，点 D、点 E 分别是 BC、MN 的中点，求证：DE⊥MN． 18．（6 分）（2021 春•老河口市期末）如图，在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD，BF 的中点，AB＝AC．求 5 证：四边形 ADCF 是矩形． 19．（8 分）（2021 春•红塔区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB＝BC，BO⊥AC 于点 O，点 D 是 BO 上 一点，延长 BO 至点 E，使 OE＝OD，点 C 到 AE 的距离为 d． （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若四边形 ADCE 的周长为 20，两条对角线的和等于 14，求 d 的值． 20．（8 分）（2021 春•海东市期末）已知：P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥DC，PE⊥BC，垂 足分别为 E、F． （1）求证：AP＝CP； （2）若∠DAP＝30°，PD= 2，求 CP 的长． 21．（8 分）（2021 春•迁安市期末）如图，△ABC 中，AB＝AC，D、F 分别为 BC、AC 的中点，连接 DF 并延长到点 E，使 DF＝FE，连接 AE、AD、CE． （1）求证：四边形 AECD 是矩形． （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AECD 是正方形，并说明理由． 6 22．（8 分）（2021 春•滨江区校级月考）已知菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，点 E 为边 AD 上一点，点 A 关于 BE 的对称点 G 位于对角线 BD 上． （1）求证：△EGD 为直角三角形； （2）若 AB＝4，求线段 EG 的长． 23．（8 分）（2021 春•鞍山期末）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 3．点 M，N 是边 AB，BC 上两点， 且 BM＝CN＝1，连接 CM，DN； （1）则 DN 与 CM 的数量关系是 ，位置关系是 ． （2）若点 E，F 分别是 DN 与 CM 的中点，计算 EF 的长； （3）延长 CM 至 P，连接 BP，若∠BPC＝45°，试求 PM 的长． 7 第 1 章 特殊的平行四边形章末测试卷（培优卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）（2021 春•长沙期末）下列叙述，错误的是（ ） A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 【解题思路】由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断 即可． 【解答过程】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形， ∴选项 A 不符合题意； B、∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， ∴选项 B 不符合题意； C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项 C 不符合题意； D、∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴选项 D 符合题意； 故选：D． 2．（3 分）（2021 春•陇县期末）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，P 为边 BC 上一点，且 2BP＝AC，则∠COP 的度数为（ A．15° B．22.5° ） C．25° D．17.5° 【解题思路】根据四边形 ABCD 是正方形，可得∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，再根据 2BP＝AC，即可 8 求出∠COP 的度数． 【解答过程】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，AC＝BD＝2OB， ∵2BP＝AC， ∴BP＝OB， ∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°， ∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故选：B． 3．（3 分）（2021•路北区二模）求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 O 是 AC 的中点． 1 求证：OB= AC． 2 证明：延长 BO 到 D，使 OD＝OB，连接 AD、CD，中间的证明过程排乱了： ①∵∠ABC＝90°； ②∵OD＝OB，OA＝OC； ③∴四边形 ABCD 是平行四边形； ④∴四边形 ABCD 是矩形． 1 1 ∴AC＝BD，∴OB= BD= AC． 2 2 则中间证明过程正确的顺序是（ A．①④②③ ） B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④ 【解题思路】延长 BO 至点 D，使 OD＝OB，连接 AD、CD，先证四边形 ABCD 是平行四边形，再证平 行四边形 ABCD 是