初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【反比例函数的应用】 【题型 1 图形问题】 .......................................................................................................................................................1 【题型 2 表格问题】 .......................................................................................................................................................2 【题型 3 工程问题】 .......................................................................................................................................................4 【题型 4 行程问题】 .......................................................................................................................................................5 【题型 5 销售问题】 .......................................................................................................................................................6 【题型 6 物理问题】 .......................................................................................................................................................8 【知识点 1 反比例函数的应用】 求函数解析式的方法： （1）待定系数法 （2）根据实际意义求函数解析式 【题型 1 图形问题】 【例 1】（2022 秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60m2 的矩形科技园 ABCD，其 中一边 AB 靠墙，墙长为 12m，设 AD 的长为 xm，DC 的长为 ym． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量 x 能否取值为 4m，若能，求出 y 的值，若不能，请 说明理由； （3）若围成矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26m，材料 AD 和 DC 的长都是整米数，求出满 足条件的所有围建方案． 【变式 1-1】（2022 秋•曲阳县期末）一菱形的面积为 12cm2，它的两条对角线长分别 acm ，bcm ，则 a 与 b 之间的函数关系为 a＝ ；这个函数的图象位于第 象限． 【变式 1-2】（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为 1，矩形两 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 条邻边的长分别别为 x，y，要求摆成的矩形的面积为 8． （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）能否摆成正方形？请说明理由． 【变式 1-3】（2022 春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长 x 为 1 时， 这条边上的高 y 为 6． （1）①求 y 关于 x 的函数表达式； ②当 x≥3 时，求 y 的取值范围； （2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为 4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高 之和为 6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？ 【题型 2 表格问题】 【例 2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在 24 周的销 售时间内，做出了下面的预测：设第 x 周该软件的周销售量为 T（单位：千套），当 0＜x≤8 时，T 与 x+4 成反比；当 8＜x≤24 时，T﹣2 与 x 成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第 x 周销售该软 件每千套的利润为 K（单位：千元），K 与 x 满足如图中的函数关系图象： x/周 8 24 T/千套 10 26 （1）求 T 与 x 的函数关系式； （2）观察图象，当 12≤x≤24 时，K 与 x 的函数关系式为 ． （3）设第 x 周销售该学习软件所获的周利润总额为 y（单位：千元），则： ①在这 24 周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存 在，请说明理由． ②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额 的范围是 286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量 T 的最小值和最大值． 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 2-1】（2022 春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光， 并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测了镜片与光斑的距离（可以当做 焦距），得到如下数据： 老花镜的度数 100 120 200 250 300 1 0.8 0.5 0.4 0.3 D/度 焦距 f/m （1）老花镜镜片是 （凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心 （越薄、越厚、没有变 化）； （2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数 D 与镜片焦距 f 的关系，用关系式表示为： （3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为 0.7m，可求出这幅老花镜的度数为 ； ． 【变式 2-2】（2022 春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制问题 似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物，在右边活动托盘 B（可左右移动）中放置一定质量的 砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘 B 与点 O 的距离 x（cm），观察活动托盘 B 中砝码的质量 y（g） 的变化情况．实验数据记录如下表： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 （1）猜测 y 与 x 之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （2）当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？ （3）将活动托盘 B 往左移动时，应往活动托盘 B 中添加还是减少砝码？ 【变式 2-3】（2022 春•常州期末）某公司从 2014 年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成 本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金 x/万元 产品成本 y/（万元/件） 2014 2.5 14.4 2015 3 12 2016 4 9 2017 4.5 8 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直接写出 y 与 x 的函数关系式： （2）按照这种变化规律，若 2018 年已投入资金 6 万元． ①预计 2018 年每件产品比 2017 年降低多少万元？ ②若计划在 2018 年把每件产品成本降低到 5 万元，则还需要投入技改资金多少万元？ 【题型 3 工程问题】 【例 3】（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式倾情支援湖北疫 区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天运送的货物吨数 y（吨）与运输 时间 x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系． （1）求该车队计划每天运送的货物吨数 y（吨）与运输时间 x（天）之间的函数关系式；（不需要写出 自变量 x 的取值范围） （2）根据计划，要想在 5 天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物资？ （3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了 25%，最终提前了 1 天完成任务，求实际完成运送任务的天数． 【变式 3-1】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间 y（h）是 参加植树人数 x（人）的反比例函数，且当 x＝20 人时，y＝3h． （1）若平均每人每小时植树 4 棵，则这次共计要植树 240 棵； （2）当 x＝80 时，求 y 的值； （3）为了能在 1.5h 内完成任务，至少需要多少人参加植树？ 【变式 3-2】（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 6×105（单 位：m3），某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度 v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间 t（单位：天）之间具有怎样的 函数关系？ （2）这个运输公司共有 80 辆卡车，每天可运送土石方 104（单位：m3），公司完成全部运输任务需要 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 多长时间？ （3）当公司以问题（2）中的速度工作了 30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输任务必须在 20 天 内完 成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？ 【变式 3-3】（2022 秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度 y（吨 /天）与装完货物所需时间 x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？ （3）若码头原有工人 10 名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了 8 天时间，在（2）的 条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？ 【题型 4 行程问题】 【例 4】（2022 春•宜兴市校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以 80 千米/小时的平均速度用 6 小时 到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度 v（千米/小时