初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 一元二次方程的解法 【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】 .........................................................................................................1 【题型 2 用配方法解一元二次方程】 .....................................................................................................................2 【题型 3 用公式法解一元二次方程】 .....................................................................................................................3 【题型 4 用因式分解法解一元二次方程】 .............................................................................................................3 【题型 5 用指定方法解一元二次方程】 .................................................................................................................4 【题型 6 用适当的方法解一元二次方程】 .............................................................................................................5 【题型 7 用换元法解一元二次方程】 .....................................................................................................................6 【题型 8 配方法的应用】 ......................................................................................................................................... 7 【知识点 1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为�� = �(� ≥ �)或(�� + �)� = �(� ≥ �, � ≠ �)的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】 � � 2 【例 1】（2022•建华区二模）解方程：− �（x﹣2） + � =0（开平方法）． 2 2 【变式 1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3） ＝（3x+2） （开平方法）． 2 2 【变式 1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1） ﹣9（x﹣2） ＝0（开平方法）． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 2 2 【变式 1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于 x 的方程：x ﹣3＝1+ax （a≠1）（开平方法）． 【知识点 2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成(� + �)� = �的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为��� + �� + � = �(� ≠ �)的形式；②方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型 2 用配方法解一元二次方程】 2 【例 2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程 2x ﹣6x+3＝0； 2 （2）请用配方法解一元二次方程 ax +bx+c＝0（a≠0）． 【变式 2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：�� − � �� = �． 2 【变式 2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x ﹣8x﹣7＝0． 2 【变式 2-3】（2022 秋•潢川县期末）解方程：2x ﹣5x+1＝0（用配方法） 【知识点 3 公式法解一元二次方程】 当�� − ��� ≥ �时，方程��� + �� + � = �(� ≠ �)通过配方，其实数根可写为� = −�± �� −��� �� 的形式，这个 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 式子叫做一元二次方程��� + �� + � = �(� ≠ �)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【题型 3 用公式法解一元二次方程】 2 【例 3】（2022 春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a ﹣3＝﹣4a． 【变式 3-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 2 【变式 3-2】（2022 秋•金山区校级期中）用公式法解方程：x ﹣2 �x﹣3＝0． 2 【变式 3-3】（2022•市中区二模）用公式法解一元二次方程：2x ﹣7x+6＝0． 【知识点 4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是 0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【题型 4 用因式分解法解一元二次方程】 【例 4】（2022 秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 2 【变式 4-1】（2022 秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4） ＝0（因式分解法）． 2 2 【变式 4-2】（2022 秋•长白县期中）用因式分解法解方程：（x+3） ＝（1﹣2x） ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 2 【变式 4-3】（2022 秋•简阳市 月考）用因式分解法解方程：x − �� + �� − � =0 【题型 5 用指定方法解一元二次方程】 【例 5】（2022 秋•兴平市校级月考）按规定的方法解下列方程： 2 （1）（x+1） ﹣144＝0（直接开平方法）； 2 （2）x ＝8x+9（配方法）； 2 （3）2y +7y+3＝0（公式法）； 2 （4）3（x﹣2） ＝x（x﹣2）（因式分解法）． 【变式 5-1】（2022 秋•宁县校级月考）用适当的方法解方程： （1）x（x﹣2）+x﹣2＝0（用因式分解法） 2 （2）x ﹣4x+3＝0（用配方法解） 2 （3）x +5x+1＝0（用公式法解） 2 2 （4）（x﹣4） ＝（5﹣2x） （用直接开平方法） 【变式 5-2】（2022 秋•简阳市月考）解下列方程 2 （1）（2x﹣1） ＝7（直接开平方法） 2 （2）2x ﹣7x﹣4＝0（用配方法） 2 （3）2x ﹣10x＝3（公式法） 2 2 （4）（3x﹣4） ＝（3﹣4x） （因式分解法） （5）�� + � − �� + � = ��（用换元法解） 2 2 2 （6）（2x +1） ﹣2x ﹣3＝0（用换元法解） 【变式 5-3】（2022 秋•恩阳区月考）解方程： 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 2 ①x +（ � + �）x+ � =0（因式分解法） 2 ②5x +2x﹣1＝0（公式法） 2 ③y +6y+2＝0（配方法） 2 2 ④9（x﹣2） ＝121（x+1） （直接开平方法） ⑤ �+� �� 2 − ��� �+� 2 =1（换元法） 2 ⑥（x ﹣x） ﹣5（x ﹣x）+6＝0（适当方法） 【题型 6 用适当的方法解一元二次方程】 【例 6】（2022 春•富阳区校级期中）用适当的方法解下列一元二次方程： 2 （1）（x+4） ﹣5（x+4）＝0； 2 （2）x ﹣2x﹣15＝0． 【变式 6-1】（2022 春•大观区校级期中）用适当的方法解方程 2 （1）x ﹣x﹣1＝0； 2 （2）（x+1） ﹣3（x+1）＝0． 【变式 6-2】（2022 春•萧山区期中）用适当的方法解下列方程： 2 （1）x ﹣x﹣6＝0； 2 2 （2）4（x﹣1） ＝9（x﹣5） ． 【变式 6-3】（2022 春•柯桥区期中）选用适当的方法解下列方程． （1）2x（x﹣1）＝3（x﹣1）； � 2 （2） x +2 �x﹣5＝0． � 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 7 关注微信公众号：明悉数学 用换元法解一元二次方程】 2 2 2 2 【例 7】（2022 秋•安居区期末）为解方程（x ﹣1） ﹣5（x ﹣1）+4＝0，我们可以将 x ﹣1 视为一个整 2 2 体，然后设 x ﹣1＝y，则原方程可化为 y ﹣5y+4＝0，解此方程得 y1＝1，y2＝4． 2 当 y＝1 时，x ﹣1＝1，所以� =± �； 2 当 y＝4 时，x ﹣1＝4，所以� =± �． 所以原方程的根为�� = �，�� =− �，�� = �，�� =− �． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法 解下列方程： 2 2 （1）（x ﹣x）（x ﹣x﹣4）＝﹣4； 4 2 （2）x +x ﹣12＝0． 4 2 【变式 7-1】（2021 春•龙口市月考）阅读下面材料：方程 x ﹣6x +8＝0 是一个一元四次方程，根据该方 2 4 2 2 程的特点，它的解法通常是设 x ＝y，则 x ＝y ，∴原方程可化为 y