初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 一元二次方程根与系数的关系 【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 .........................................................................................1 【题型 2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 .........................................................................................2 【题型 3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 .........................................................................................2 【题型 4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 .............................................................................................3 【题型 5 构造一元二次方程求代数式的值】 .........................................................................................................3 【题型 6 已知方程根的情况判断另一个方程】 .....................................................................................................4 【题型 7 根与系数关系中的新定义问题】 .............................................................................................................4 【题型 8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 .............................................................................5 【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程��� + �� + � = �(� ≠ �)的两个实数根是 x1，x 2 ，那么 x1  x 2   b c ， x1 x2  . a a 注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得 的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【题型 1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 � � 【例 1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程 2x2+3x﹣5＝0 的两根，则 + 的值是 � � ． 【变式 1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣7x+5＝0 的两根，则（x1﹣1）（x2 ﹣1）的值为（ A．1 ） B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式 1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数 a、b 满足 � − � +|b+3|＝0，若关于 x 的一元二次方程 x2﹣ � � ax+b＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，则� + � 的值是（ A．− � � � B． � � � C．2 ） � D． � 【变式 1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程 x2﹣5x﹣14＝0 的两个根，则α 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 ﹣β的值为（ ） A．﹣9 【题型 2 关注微信公众号：明悉数学 B．9 C．﹣9 或 9 D．﹣5 或 5 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 【例 2】（2022•乳山市模拟）若 x1，x2 是方程 2x2﹣3x+1＝0 的两个根，则 3x12﹣3x1+x22＝（ � � A．� B．� � C．� ） � D．� 【变式 2-1】 （2022•牟平区一模）已知一元二次方程 x2﹣2022x+1＝0 的两个根分别为 x1，x2，则 x12− 的值为（ ���� ） A．﹣1 B．0 C．﹣2022 �� +1 D．﹣2021 【变式 2-2】（2022•东港区校级一模）若 m，n 是一元二次方程 x2﹣5x﹣1＝0 的两个实数根，则 m2﹣6m ﹣n+2022 的值是（ A．2016 ） B．2018 C．2020 D．2022 【变式 2-3】（2022 春•海门市期末）若 m，n 是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的两个实数根，则 2m2+4n2﹣4n+2022 的值为 ． 【题型 3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 【例 3】（2022•呼和浩特）已知 x1，x2 是方程 x2﹣x﹣2022＝0 的两个实数根，则代数式 x13﹣2022x1+x22 的值是（ ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 � 【变式 3-1】（2022•硚口区模拟）已知 a ， b 是方程 x2 ﹣ x ﹣5＝0 的两根，则代数式﹣ a3+5a − 的值是 （ � ） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【变式 3-2】（2022•松山区模拟）若 m， n 是一元二次方程 x2+x﹣3＝0 的两个实数根，则 m3﹣4n2+17 的值为（ ） A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4 【变式 3-3】 （2022 春•汉阳区校级月考）已知 m，n 是方程 x2﹣4x+2＝0 的两根，则代数式 2m3+5n2− 的值是（ A．57 ） B．58 C．59 �� � D．60 2 +4 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 4 关注微信公众号：明悉数学 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 【例 4】（2021 秋•毕节市期末）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+3）x+m2＝0 的两个不相 等的实数根，且满足 A．﹣3 或 1 � �� + � = �，则 m 的值为（ �� B．﹣1 或 3 ） C．﹣1 D．3 【变式 4-1】（2021 秋•黔西南州期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个 不相等的实数根 x1，x2．且 x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2＝16，则 a 的值为（ A．﹣6 B．﹣1 C．1 或﹣6 ） D．6 或﹣1 【变式 4-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4kx+3k2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的两个实数根 x1，x2，满足 x1﹣x2＝3，求 k 的值． 【变式 4-3】（2022•内江）已知 x1、x2 是关于 x 的方程 x2﹣2x+k﹣1＝0 的两实数根，且 ﹣1，则 k 的值为 【题型 5 ． �� + �� �� �� =x12+2x2 构造一元二次方程求代数式的值】 【例 5】（2022•鄞州区模拟）已知实数 a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2， � 则� � A．23 � +� � 的值为（ ） B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13 【变式 5-1】（2021 秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足 2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1， � � � 且�� + � − �的值为（ �� A． � � ） B．− �� C．− � �� � �� D． � 【变式 5-2】（2022•周村区二模）已知 a、b、m、n 为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m） （b+n）＝2，则 ab﹣mn 的值为（ A．4 B．1 ） C．﹣2 D．﹣1 【变式 5-3】 （2022 春•杭州期中）若 xy+x≠1，且 5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则 � 的值是 ． �+� 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 6 关注微信公众号：明悉数学 已知方程根的情况判断另一个方程】 【例 6】（2022•新华区校级一模）已知关于 x 的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中 p，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论： ①1 和一 1 都是方程 x2+qx+p＝0 的根 ②0 可能是方程 x2+qx+p＝0 的根 ③﹣1 可能是方程 x2+qx+p＝0 的根 ④1 一定不是方程 x2+qx+p＝0 的根 其中正确的是（ A．①② ） B．③④ C．②③ D．①④ 【变式 6-1】（2022 春•余杭区月考）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 与 cx2+bx+a＝0，且 ac≠0， a≠c．下列说法正确的是（ ） A．若方程 ax2+bx+c＝0 有两个相等的实数根，则方程 cx2+bx+a＝0 没有实数根 B．若方程 ax2+bx+c＝0 的两根符号相同，则方程 cx2+bx+a＝0 的两根符号也相同 C．若 5 是方程 ax2+bx+c＝0 的一个根，则 5 也是方程 cx2+bx+a＝0 的一个根 D．若方程 ax2+bx+c＝0 和方程 cx2+bx+a＝0 有一个相同的根，则这个根必是 x＝1 【变式 6-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知两个关于 x 的一元二次方程 M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a ＝0，其中 ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（ ） A．若方程 M 有两个相等的实数根，则方程 N 也有两个相等的实数根 B．若方程 M 有一个正根和一个负根，则方程 N 也有一个正根和一个负根 � C．若 5 是方程 M 的一个根，则 是方程 N 的一个根 � D．若方程 M 和方程 N 有一个相同的根，则这个根一定是 x＝1 【变式 6-3】（2022 春•瑶海区校级期末）关于 x 的一元二次方程 x2+px+q＝0 有两个同号非零整数根，关 于 y 的一元二次方程 y2+qy+p＝0 也有两个