初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 一元二次方程根的判别式 【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 .............................................................................1 【题型 2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 .................................................................................2 【题型 3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 .....................................................................................2 【题型 4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 .................................................................................................3 【题型 5 由方程有两个相等的实数根求值】 .........................................................................................................4 【题型 6 根的判别式与新定义的综合】 .................................................................................................................4 【题型 7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 .................................................................................................5 【题型 8 根的判别式与三角形的综合】 .................................................................................................................6 【知识点 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：∆ = �� − ���． ①当∆ = �� − ��� > �时，原方程有两个不等的实数根； ②当∆ = �� − ��� = �时，原方程有两个相等的实数根； ③当∆ = �� − ��� < �时，原方程没有实数根. 【题型 1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 2 【例 1】（2022•滨州）一元二次方程 2x ﹣5x+6＝0 的根的情况为（ A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 ） 2 【变式 1-1】（2022•梧州）一元二次方程 x ﹣3x+1＝0 的根的情况（ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ） 【变式 1-2】（2022 春•长沙期末）关于 x 的一元二次方程�� − � �� + � = �的根的情况，下列说法正确 的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 C．无实数根 关注微信公众号：明悉数学 D．不能确定 【变式 1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4 的根的情况是（ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【题型 2 ） 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 2 【例 2】（2022 春•钱塘区期末）已知关于 x 的方程 x +（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ） A．不存在 k 的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个 k 的值，使得方程没有实数解 C．无论 k 为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论 k 为何值，方程有两个不相等的实数根 【变式 2-1】（2022•南召县模拟）已知关于 x 的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ） A．当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 B．当 p＞0 时，方程有两个不相等的实数根 C．当 p＜0 时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与 p 的值无关 � � � 【变式 2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数 k，关于 x 的方程 � − (� + �)� + �� + �� + � = � � 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 2 2 【变式 2-3】（2022 春•平潭县期末）对于任意实数 k，关于 x 的方程 x ﹣2（k+5）x+2k +4k+50＝0 的根 的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判定 【题型 3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 2 【例 3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于 x 的一元二次方程 ax +bx﹣1＝0 总有实数根的条件，下面三 名同学给出建议：甲：a，b 同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ A．甲，乙，丙都正确 ） B．只有甲不正确 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【变式 3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数 a，b，c 满足 a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于 x 的方 2 程 ax ﹣cx+b＝0 的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有且只有一个实数根 C．两个实数根 D．无数个实数根 2 【变式 3-2】（2022 春•德阳月考）函数 y＝kx﹣b 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x +bx+k﹣ 1＝0 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 � − �＞� 2 【变式 3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组 � 有 3 个整数解，则关于 x 的方程 ax +（2a﹣1） � − �＜� � x+a＝0 根的情况为（ ） A．无法判断 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【题型 4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 2 【例 4】（2022 春•长丰县期末）关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x +2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， 则 m 的取值范围是（ A．m＜﹣1 ） B．m＞0 C．m＜1 且 m≠0 D．m＞0 且 m≠1 2 2 【变式 4-1】（2022•西平县模拟）若关于 x 的一元二次方程 x ﹣（2k﹣1）x+k ﹣2＝0 有实数根，则 k 的 取值范围是（ � A．� ≤ � ） � B．� ≥ � � C．�＞ � 2 � D．�＜ � 【变式 4-2】（2022•滑县模拟）若关于 x 的一元二次方程 2kx ﹣3 � + �x+1＝0 有两个不相等的实数根， 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 则 k 的取值范围是（ A．k＞﹣9 关注微信公众号：明悉数学 ） B．k＞﹣9 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 2 【变式 4-3】（2022•定海区一模）直线 y＝x﹣a 不经过第二象限，且关于 x 的方程 ax ﹣2x+1＝0 有实数 解，则 a 的取值范围是（ A．0≤a≤1 【题型 5 ） B．o≤a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜1 由方程有两个相等的实数根求值】 【例 5】（2022•合肥模拟）若关于 x 的一元二次方程 x（x﹣2）＝2mx 有两个相等的实数根，则实数 m 的 值为（ ） A．﹣1 B．0 C．﹣1 或 0 D．4 或 1 【变式 5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程��� + �� + � = �有两个相等的实数根，则 a， b 的值可能是（ ） A．a＝﹣1，b＝﹣4 B．a＝0，b＝0 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝4 � 2 【变式 5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于 x 的一元二次方程（3a﹣1）x ﹣ax+ � =0 有两个相等的实数 � 2 根，则代数式 a ﹣2a+1+ �的值（ A．.﹣3 B．.3 ） C．2 D．﹣2 2 【变式 5-3】（2022 春•余杭区月考）若关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， 且满足 4a﹣2b+c＝0，则（ A．b＝a 【题型 6 ） B．c＝2a 2 C．a（x+2） ＝0 2 D．﹣a（x﹣2） ＝0 根的判别式与新定义的综合】 【例 6】（2022•烟台一模）定义新运算 a⋆ b，对于任意实数 a，b 满足 a⋆ b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例 如 3⋆ 2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若 x⋆ （2x﹣1）＝﹣3 是关于 x 的方程，则它的根的情况 是（ ） A．有一个实根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2 2 【变式 6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn ﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×2 ﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若 关于 x 的方程 a※x＝0 有实数根，则 a 的取值范围为（ ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 关注微信公众号：明悉数学 C．a≥0 或 a≤﹣1 D．a＞0 或 a≤﹣1 【变式 6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数 m，n，p，q 有[m，p]※[q，n]＝mn+pq， 2 其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于 x 的方程（x +1， x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ � A．k≤ �且 k≠0 � B．k≤ � ） � C．k＜ �且 k≠0 � D．k≥ � 2