初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【相似三角形的判定】 【题型 1 相似三角形的判定条件】 ............................................................................................................................. 2 【题型 2 格点中的相似三角形】 ..................................................................................................................................3 【题型 3 相似三角形的证明】 ......................................................................................................................................4 【题型 4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 ........................................................................................5 【题型 5 相似三角形在坐标系中的运用】 .................................................................................................................6 【题型 6 确定相似三角形的对数】 ............................................................................................................................. 7 【题型 7 相似三角形中的多结论问题】 ..................................................................................................................... 8 【题型 8 相似三角形与动点的综合】 .......................................................................................................................10 【题型 9 相似与最值】 ................................................................................................................................................ 11 【题型 10 旋转型相似】 ................................................................................................................................................12 【知识点 1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理 1： 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 如图，如果 A  A ' ， B  B ' ，则 两个角对应相等，那么这两个三角形相似． △ ABC ∽△ AB C  ． 简称为三边对应成比例，两个三角形相 判定定理 2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 这两个三角形相似． 似． 如图，如果 AB BC AC   ，则 AB BC  AC  △ ABC ∽△ AB C  ． 判定定理 3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两 个三角形相似．如图，如果 AB AC  ， AB AC  A  A ' ，则 △ ABC ∽△ AB C  ． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 1 关注微信公众号：明悉数学 相似三角形的判定条件】 【例 1】（2022 秋•汉寿县期末）如图，若点 P 为△ABC 的边 AB 上一点（AB＞AC），下列条件不能判定 △ABC∽△ACP 的是（ A．∠B＝∠ACP ） B．∠ACB＝∠APC C． �� �� = �� �� D． �� �� = �� �� 【变式 1-1】（2022 春•泰安期末）如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D 为 AB 上一点，且 AD＝8，在 AC 上取一点 E，使以 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 AE 等于（ �� �� A． 或 � �� � C． 或 10 � B．10 或 ） �� � D．以上答案都不对 【变式 1-2】（2022 秋•合肥期末）如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，过点 C 作 CE⊥CD 交 AB 的 延长线于点 E，添加下列条件仍不能判断△CEB 与△CAD 相似的是（ A．∠CBA＝2∠A B．点 B 是 DE 的中点 C．CE•CD＝CA•CB D．�� = �� �� ） �� 【变式 1-3】（2022 秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第 31 页遇到这样一道题，如图 1，在△ABC 中，P 是边 AB 上的一点，连接 CP，要使△ACP∽△ABC，还 需要补充的一个条件是 ，或 ． 请回答： （1）王华补充的条件是 ，或 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 2 关注微信公众号：明悉数学 格点中的相似三角形】 【例 2】（2022 春•文登区期末）如图，在正方形网格中有 5 个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD， ③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（ A．①③ B．①④ C．②④ ） D．①③④ 【变式 2-1】（2022 秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ ABC 相似的是（ A． ） B． C． D． 【变式 2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列两个三角形中相 似的是（ A．①④ ） B．①③ C．②③ D．②④ 【变式 2-3】（2022 秋•法库县期末）如图，在 5×6 的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与 E，G 两点构成的三角形中和△EFG 相似的是（ A．点 A B．点 B ） C．点 C D．点 D 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 3 关注微信公众号：明悉数学 相似三角形的证明】 【例 3】（2022•淳安县一模）如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、BC 的中点，F 是 BC 延长线上一点， ∠F＝∠B． （1）若 AB＝10，求 FD 的长； （2）若 AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE． �� �� 【变式 3-1】（2022 秋•临安区期末）如图，点 B、D、E 在一条直线上，BE 交 AC 于点 F，�� = ��，且∠ BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）求证：△AEF∽△BCF． 【变式 3-2】（2022 秋•下城区期末）已知：如图，O 为△ABC 内一点，A'，B'，C'分别是 OA，OB，OC 上的点，且 OA'：AA'＝OB'：BB'＝1：2，OC'：CC'＝2：1，且 OB＝6． （1）求证：△OA'B'∽△OAB； （2）以 O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与△OBC 相似？如果可能，求 OC 的长；如果不可能，请说 明理由． 【变式 3-3】（2022 春•仪征市校级期末）如图，△ABC、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝ ∠PDE＝90°． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （1）若将△DEP 的顶点 P 放在 BC 上（如图 1），PD、PE 分别与 AC、AB 相交于点 F、G．求证：△PBG ∽△FCP； （2）若使△DEP 的顶点 P 与顶点 A 重合（如图 2），PD、PE 与 BC 相交于点 F、G．试问△PBG 与△ FCP 还相似吗？为什么？ 【题型 4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 【例 4】（2022 秋•上城区期末）四边形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，连接 DE，CE． （1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形 ABCD 为矩形，AB＝5，BC＝2，且图中的三个三角形都相似，求 AE 的长． （3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断 AE 和 BE 的数量关系并说明理由． 【变式 4-1】（2022 秋•德清县期末）如图，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处，若 △AEM 与△ECM 相似，则 AB 和 BC 的数量关系为 ． 【变式 4-2】（2022 秋•淮安期末）（1）填空：如图 1，在正△ABC 中，M、N 分别在 BC、AC 上，且 BM ＝CN，连 AM、BN 交于点 O，则∠AON＝ ° （2）填空：如图 2，在正方形 PQRS 中，已知点 M、N 分别在边 QR、RS 上，且 QM＝RN，连接 PN、 SM 相交于点 O，则∠POM＝ °． （3）如图 3，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°．以此为部分条件，构造一 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 个与上述命题类似的正确命题并加以证明． （4）在（1）的条件下，把直线 AM 平移到图 4 的直线 EOF 位置， ①写出所有与△BOF 相似的三角形： ②若点