初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级数学上册题型总结系列 【成比例线段】 【题型 1 成比例线段的概念】 ................................................................................................................................. 1 【题型 2 成比例线段的应用】 ................................................................................................................................. 2 【题型 3 比例的证明】 ............................................................................................................................................. 3 【题型 4 利用比例的性质求比值】 ......................................................................................................................... 4 【题型 5 利用比例的性质求参】 ............................................................................................................................. 4 【题型 6 比例的性质在阅读理解中的运用】 .........................................................................................................4 【题型 7 黄金分割】 ................................................................................................................................................. 6 【知识点 1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式 a : b  c : d（即 （即 a c  ）中，a，d 称为比例外项，b，c 称为比例内项．特别地，在比例式 a : b  b : c b d a b  ）中，b 称为 a，c 的比例中项，满足 b   ac ． b c 2．成比例线段： 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，即 a c  ，那么这四条线段 a，b，c，d b d 叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型 1 成比例线段的概念】 【例 1】（2022 秋•南岗区校级月考）不能与 2，4，6 组成比例式的数是（ � A． � B．3 C．8 ） D．12 【变式 1-1】（2022 秋•义乌市月考）已知线段 a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 【变式 1-2】（2022 秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（ ） 2 � ． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．2：4＝1.5：3 关注微信公众号：明悉数学 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4 【变式 1-3】（2022 秋•八步区期中）如图所示，有矩形 ABCD 和矩形 A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm， A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段 A'B'，AB，B'C'，BC 是成比例线段吗？ 【题型 2 成比例线段的应用】 【例 2】（2022 秋•渭滨区期末）已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝ ﹣2：7：1，试判断△ABC 的形状． 【变式 2-1】（2022 秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是 400 千米，在比例尺为 1：500000 的 地图上，甲乙两地的距离是（ A．0.8cm ） B．8cm C．80cm D．800cm． 【变式 2-2】（2022 秋•杜尔伯特县期末）一个班有 30 名学生，男、女生人数的比可能是（ A．3：2 B．1：3 C．4：5 ） D．3：1 【变式 2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团 的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列 叙述何者正确？（ ） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【知识点 2 比例的性质】 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： a c   ad  bc(bd  ) b d x y   x   y   （2）反比性质： a c b d    (abcd  ) b d a c x y      ( xy  )   x y （3）更比性质： a c a b    或 b d c d x y x  y     或  ( xy  )   y  x  d c  (abcd  ) b a （4）合比性质： a c ab cd (bd  )    b d b d x  x y     ( y  ) y  y  （5）分比性质： a c ab cd (bd  )    b d b d y  y  x   ( x  )    x  x  （6）合分比性质： a c ab cd    b d ab cd x  x y     ( y  , x  y ) y  x y  (bd  , a  b, c  d ) （7）等比性质： 已 知 a c m       (b  d      n  ) b d n           . x y z xyz a  c    m a   (b  d  L  n  ) b  d    n b 【题型 3      ， 则 当 x yz 时 ， x y z 比例的证明】 � 【例 3】（2022 秋•汝州市校级月考）已知线段 a，b，c，d（b≠d≠0），如果 = � � � �−� = �，求证： � �−� 【变式 3-1】 （2022 春•江阴市期中）如图，点 B，C 在线段 AD 上，且 AB：BC＝AD：CD，求证： + �� � = �� �+� ． � ． �+� = �� 【变式 3-2】（2022 秋•秦都区校级期中）已知：如图，点 O 为三角形 ABC 内部的任意一点，连接 AO 并 延长交 BC 于点 D． 证明：（1） �△��� �△��� = �△��� �△��� �△��� ；（2） �△��� = �� �� ． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 � �� +�� � 【变式 3-3】（2022 秋•岳阳县期中）若 a，b，c，d 是非零实数且� = �，求证��+�� = 【题型 4 利用比例的性质求比值】 �� � � 【例 4】（2022 秋•炎陵县期末）已知��−� = �，则� = �−� 【变式 4-1】（2022 春•霍邱县期末）若 � � A． B． � � � C．− � 【变式 4-2】（2022 春•沙坪坝区校级期末）若 = � � � A． B． � � � C． � � � � � � B．若 � �−� � � � � � � � � � �−� � � � D．若� = ，则 a＝3，b＝4 【题型 5 � � = = 且 b﹣2d+3f≠0，则 � � � D． � ） �−��+�� �−��+�� ） � � � � 利用比例的性质求参】 �+� 【例 5】（2022 秋•蜀山区校级期中）已知： � � � �+� = � = �+� � =k，则 k＝ ． 【变式 5-1】（2022 秋•灌云县期末）已知� = �，且 x+y＝24．则 x 的值是（ A．15 B．9 C．5 � � ） D．3 � 【变式 5-2】（2022 秋•高州市期中）已知 = = ，且 3y＝2z+6，求 x，y 的值． � � � � � � 【变式 5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若 = ，且 b+d≠0，那么 = （1）若 b+d＝0，那么 a、c 满足什么关系？ （2）若 【题型 6 的值为（ � C．若� = � = （b﹣d≠0），则�−� = � D．− � = ，则 = � � � � ． ） � 【变式 4-3】（2022 春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（ A．若 = ，则 � = �� +�� ． = ，那么 的值等于（ � � � ��+�� �+� � = �+� � = �+� � � � � � � = �+� �+� ． = �，求 t2﹣t﹣2 的值． 比例的性质在阅读理解中的运用】 【例 6】（2022 秋•渝中区期末）阅读理解： � � 已知：a，b，c，d 都是不为 0 的数，且 = ，求证： � � 证明：∵� = �， � � �+� � = �+� � ．