初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学题型总结系列 二次函数解析式的确定 【题型 1 利用一般式确定二次函数解析式】 .........................................................................................................1 【题型 2 利用顶点式确定二次函数解析式】 .........................................................................................................2 【题型 3 利用两根式确定二次函数解析式】 .........................................................................................................3 【题型 4 利用平移变换确定二次函数解析式】 .....................................................................................................4 【题型 5 利用对称变换确定二次函数解析式】 .....................................................................................................6 【题型 6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 .............................................................................................7 【知识点 1】 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式 y  ax 2  bx  c （ a ， b ， c 为常数， a  0 ），转化成一个 三元一次方程组，以求得 a，b，c 的值. 【题型 1 利用一般式确定二次函数解析式】 【例 1】（2022 秋•闽侯县期中）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中的 x，y 满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 3.5 1 ﹣0.5 ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线； 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （3）直接写出，当 x 取什么值时，y＞0？ 【变式 1-1】（2022 秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求 这个二次函数的解析式． 【变式 1-2】（2022 秋•大连期末）二次函数 y＝x2+bx+c 的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二 次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点． 【变式 1-3】（2022 秋•上城区期中）已知二次函数 y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在 x＝﹣2 时取到最 大值，且二次函数的图象与直线 y2＝x+1 交于点 P（m，0）． （1）求 m 的值； （2）求这个二次函数解析式； （3）求 y1 大于 y2 时，x 的取值范围． 【知识点 2】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式 y  a  x  h   k ．这顶点坐标为（ h，k ），对称 2 轴直线 x = h，最值为当 x = h 时，y 最值=k 来求出相应的系数. 【题型 2 利用顶点式确定二次函数解析式】 【例 2】（2022 秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线 x＝﹣1． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该图象的顶点坐标； （3）观察图象，当 y＞0 时，求自变量 x 的取值范围． 【变式 2-1】（2022 秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与 x 轴两交点间的距离是 6．求 抛物线解析式． 【变式 2-2】（2022 秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）观察图象，当﹣2＜x≤1 时，y 的取值范围为 .（直接写出答案） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 2-3】（2022 秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴 于点 B． （1）求抛物线的解析式． （2）求△ABC 的面积． 【知识点 3】 0 ， 0  ，设二次函数的解析式为 y  ax  x1 x  x2  ，根据题目条 已知图像与 x 轴交于不同的两点  x1，  x2， 件求出 a 的值． 【题型 3 利用两根式确定二次函数解析式】 【例 3】（2022•包头）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，且 图象经过点 C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式． 【变式 3-1】（2022 秋•温州校级月考）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣1，0），B （3，0）两点，顶点为 D． （1）求此二次函数的解析式． （2）求点 D 的坐标及△ABD 的面积． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 3-2】（2022 春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M 为抛物线的顶点，其中 A（1，0）， B（3，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标 M 的坐标． （2）求直线 CM 的解析式． 【变式 3-3】（2022 秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点， 求此函数的解析式． 【知识点 4】 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析 是写成顶点式 y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移 n 个单位时，就在 x – h 上加上（减去）n；当图 像向上（下）平移 m 个单位时，就在 k 上加上（减去）m．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以 a 得值不变． 【题型 4 利用平移变换确定二次函数解析式】 【例 4】（2022 秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线 N 过 A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0） 三点 （1）求该抛物线和直线 AB 的解析式； （2）平移抛物线 N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式： 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 ①平移后抛物线的顶点在直线 AB 上； ②设平移后抛物线与 y 轴交于点 C，如果 S△ABC＝3S△ABO． 【变式 4-1】（（2022 秋•河东区校级期中）已知抛物线 y＝﹣2x2+4x+3． （1）求抛物线的顶点坐标，对称轴； （2）当 x＝ 时，y 随 x 的增大而减小； （3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在 x 轴上截取的线段长为 4，求平移后的抛物线解析式． 【变式 4-2】（2022 秋•长葛市校级月考）已知直线 y＝x+1 与 x 轴交于点 A，抛物线 y＝﹣2x2 的顶点平移 后与点 A 重合． （1）求平移后的抛物线 C 的解析式； � （2）若点 B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线 C 上，且− � ＜x1＜x2，试比较 y1，y2 的大小． 【变式 4-3】（2022 秋•萧山区月考）已知抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0），且 过点 C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y＝﹣2x 上，并写出平移后相应的抛 物线解析式． 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【知识点 5】 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式． 【题型 5 利用对称变换确定二次函数解析式】 【例 5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线 W1：y＝ax2﹣bx﹣3 与 x 轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点 与 y 轴交于点 C，顶点为 D． （1）求抛物线 W1 的表达式； （2）将抛物线 W1 绕原点 O 旋转 180°后得到抛物线 W2，W2 的顶点为 D'，点 M 为 W2 上的一点，当△ D'DM 的面积等于△ABC 的面积时，求点 M 的坐标． 【变式 5-1】（2022 秋•淮南月考）已知抛物线 y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物 线的解析式． 【变式 5-2】（2022 秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示： （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣3＜x＜0 时，y 的取值范围为 ； （3）将该二次函数图象沿 x 轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 ． 【变式 5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线 L：y＝ax2﹣2x﹣3a 与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B， 与 y 轴相交于点 C，点 D 为抛物线 L 的顶点，抛物线 L′与 L 关于 y 轴对称． （1）求抛物线 L 的表达式； （2）在抛物线 L′上是否存在点 P，使得△PBC 的面积等于四边形 OCDB 的面积？若存在，求点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【知识点 6】 此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 6 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 6 关注微信公众号：明悉数学 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 【例 6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是 y 轴，且图象不经过原点，请写出 一个符合条件的二次函数解析式 ． 【变式 6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对