初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学专项训练系列 二次函数中的最值问题 【题型 1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 .............................................................................2 【题型 2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 .............................................................................................2 【题型 3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 .................................................................................3 【题型 4 二次函数中求线段最值】 ......................................................................................................................... 3 【题型 5 二次函数中求线段和差最值】 .................................................................................................................5 【题型 6 二次函数中求周长最值】 ......................................................................................................................... 7 【题型 7 二次函数中求面积最值】 ......................................................................................................................... 9 【题型 8 二次函数在新定义中求最值】 ...............................................................................................................10 【知识点 1 二次函数的最值】 1.对于二次函数 y  ax2  bx  c (a  0) 在 m ≤ x ≤ n 上的最值问题（其中 a、b、c、m 和 n 均为定值， ymax 表 示 y 的最大值， ymin 表示 y 的最小值）： （1）若自变量 x 为全体实数，如图①，函数在 x   b 时，取到最小值，无最大值． 2a b ，如图②，当 x  m ， y  ymax ；当 x  n ， y  ymin ． 2a b （3）若 m   ，如图③，当， x  m y  ymin ；当 x  n ， y  ymax ． 2a b b b b    m ，如图④，当 x   ， y  ymin ；当 x  n ， y  ymax ． （4）若 m ≤  ≤ n ， n  2a 2a 2a 2a （2）若 n   2.对于二次函数 y  ax2  bx  c (a  0) ，在 m  x  n （m，n 为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论 m， b n 与  的大小． 2a 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 【题型 1 关注微信公众号：明悉数学 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 【例 1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数 y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3 时，则 y 的最大值为 （用 含 m 的式子表示）． 【变式 1-1】（2022 秋•河西区期末）当 x≥2 时，二次函数 y＝x2﹣2x﹣3 有（ A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 ） D．最小值﹣4 【变式 1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数 y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数 y 的最小值和最大值．小 王的解答过程如下： 解：当 x＝﹣1 时，y＝1； 当 x＝2 时，y＝4； 所以函数 y 的最小值为 1，最大值为 4． 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程． 【变式 1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数 y＝x2+bx﹣c 的图象经过点（3，0），且对称轴为直线 x＝ 1． （1）求 b+c 的值． （2）当﹣4≤x≤3 时，求 y 的最大值． （3）平移抛物线 y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数 y＝2x2﹣x﹣1 上，求平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的最小值． 【题型 2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 【例 2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数 y＝mx2﹣4mx（m 为不等于 0 的常数），当﹣2≤x≤3 时， 函数 y 的最小值为﹣2，则 m 的值为（ A．± � � � B．− 或 � � � ） � � C．− 或 � � � D． 或 2 � 【变式 2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于 x 的二次函数 y＝x2+2x+2a+3，当 0≤x≤1 时，y 的最大值 为 10，则 a 的值为 ． 【变式 2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数 y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值 7，最大值 11，则 a+c 的值为（ A．3 ） B．9 C． �� � �� D． � 【变式 2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数 y＝x2+bx+c，当 x＞0 时，函数的最小值为﹣3，当 x≤0 时，函数的最小值为﹣2，则 b 的值为（ ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．6 【题型 3 B．2 关注微信公众号：明悉数学 C．﹣2 D．﹣3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 【例 3】（2022•宁阳县一模）当 0≤x≤m 时，函数 y＝﹣x2+4x﹣3 的最小值为﹣3，最大值为 1，则 m 的 取值范围是（ ） A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2 【变式 3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数 y＝﹣x2﹣4x+5，当 m≤x≤m+3 时，求 y 的最小值（用含 m 的代数式表示）． 【变式 3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线 y＝ax2+bx﹣3a，其中 a、b 为实数，a＜0，且经过（3，0）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）若 a＝﹣2，当 t﹣2≤x≤t 时，函数的最大值是 6，求 t 的值； （3）点 A 坐标为（0，4），将点 A 向右平移 3 个单位长度，得到点 B．若抛物线与线段 AB 有两个公 共点，求 a 的取值范围． 【变式 3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点 （2，c）． （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点坐标． （2）当 t≤x≤2﹣t 时，函数的最大值为 M，最小值为 N，若 M﹣N＝3，求 t 的值． 【题型 4 二次函数中求线段最值】 【例 4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣2 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）、B（1，0），与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是抛物线对称轴上的动点，求 MB+MC 的最小值； （3）若点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，线段 PQ 是否存在最大值？若 存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 4-1】（2022•太原一模）综合与实践 如图，抛物线 y＝x2+2x﹣8 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C．点 D 在直线 AC 下方的抛物线上运动，过点 D 作 y 轴的平行线交 AC 于点 E． （1）求直线 AC 的函数表达式； （2）求线段 DE 的最大值； （3）当点 F 在抛物线的对称轴上运动，以点 A，C，F 为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点 F 的坐标． 【变式 4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（0，3），点 P 是 直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M．设点 P 的横坐标为 t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 在第一象限，连接 AM，BM．当线段 PM 最长时，求△ABM 的面积； （3）是否存在这样的点 P，使以点 P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出 点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式 4-3】（2022 春•九龙坡区校级期末）抛物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于 A（﹣4，0）和 B（1，0） 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式； � （1）过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，求 PE 的最大值及此时点 P 的坐标； � 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （2）将抛物线 y＝ax2+bx+4 向右平移 4 个单位，得到新抛物线 y'，点 M 是抛物线 y'的对称轴上一点．在 x 轴上确定一点 N，使得以点 A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点 N 的坐标． 【题型 5 二次函数中求线段和差最值】 � � 【例 5】（2022 春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为 y=− x2− x+3，抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交点于点 C． � � （1）请分别求出点 A、B、C 的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接 AC、BC，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°，点 A、C 的对应点分别为 M、N，求点 M、N 的 坐标； （3）若点 P 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р的坐