初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】 【题型 1 二次函数的顶点式与一般式的互化】 .......................................................................................................... 1 【题型 2 根据二次函数的解析式判断其性质】 .......................................................................................................... 2 【题型 3 五点法绘二次函数的图象】 ........................................................................................................................... 2 【题型 4 用待定系数法求二次函数解析式】 ...............................................................................................................4 【题型 5 二次函数图象的平移变换】 ........................................................................................................................... 5 【题型 6 二次函数图象的对称变换】 ........................................................................................................................... 6 【题型 7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】 ...................................................................................................... 7 【题型 8 利用二次函数的增减性求参数范围】 .......................................................................................................... 7 【知识点 1 二次函数的图象和性质】 二次函数的图象是一条抛物线。当�＞0 时，抛物线开口向上；当�＜0 时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线 的开口越小；|�|越小，抛物线的开口越大。 对称轴 顶点 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y轴 y轴 x=h x=h (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a> 0 a< 0 【题型 1 （− � �� ， � �� ���−�� �� ） � ���−�� �� )。 � x<0(h 或− ��)时，y 随 x 的增大而减小；x>0(h 或− ��)时，y 随 x 的增大而增大。 即在对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大。 减 性 � =− a>0 时，顶点是最低点，此时 y 有最小值；a<0 时，顶点是最高点，此时 y 有最大 值。 最小值(或最大值)为 0(k 或 增 y=ax2+bx+c � � x<0(h 或− ��)时，y 随 x 的增大而增大；x>0(h 或− ��)时，y 随 x 的增大而减小。 即在对称轴的左边，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小。 二次函数的顶点式与一般式的互化】 【例 1】（2023 春·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）抛物线� = ��� + ��� + �� + �的顶点位于（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式 1-1】（2023 春·全国·九年级专题练习）将二次函数� = �� − �� + �化为� = � � − � 果正确的是（ ） ） � + �的形式，下列结 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．� = � + � � + � B．� = � − � 关注微信公众号：明悉数学 � + � C．� = � + � � − � D．� = � − � � −� 【变式 1-2】（2023 春·河北承德·九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解 法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式� = ��� + �� + �（�≠0）化成� = �(� − �)� + �的形式．现有 甲、乙两位同学通过配方法将二次函数� = �� − �� + �化成� = �(� − �)� + �的形式如下： 两位同学做法正确的是（ ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【变式 1-3】（2023·广东·九年级专题练习）用配方法把二次函数� = ��� − �� + �写成� = �(� − �)� + �的形式为 ________ 【题型 2 根据二次函数的解析式判断其性质】 � � 【例 2】（2023 春·九年级单元测试）在函数①� = ��� ；②� = �� + �；③� =− �� − �中，图象开口大小按题号 顺序表示为（ � ） A．①>②>③ B．①>③>② � C．②>③>① D．②>①>③ � 【变式 2-1】（2023 春·九年级单元测试）二次函数� =− �� + �� + �，当� ≤ � ≤ 时，�的最大值为（ A．� B．� �� C． �� D． � � ） � 【变式 2-2】（2023 春·全国·九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是 y 轴的二次函数的表达式是（ A．� = ��� + �� C．� = �� + �� − � B．� = ��� + � D．� =− � � − � � +� 【变式 2-3】（2023 春·江西南昌·九年级期中）关于抛物线�� = � + ��� 与�� = � − ��� 的论述，不正确的是（ A．两条抛物线的顶点相同 B．两条抛物线的形状相同 C．两条抛物线与 y 轴的交点相同 D．两条抛物线的增减性相同 【题型 3 五点法绘二次函数的图象】 【例 3】（2023 春·江苏徐州·九年级统考期末）已知二次函数� = �2 − 2� − 3． 2 ） ） 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … y … −� 0 1 2 3 … … (2)根据图象，完成下列填空： ①当� > �时，y 随 x 的增大而___________ ②当� < �时，x 的取值范围是____________ 【变式 3-1】（2023 春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标___________． （2）对称轴为___________． （3）当 x= ___________时，y 有最大值是___________． （4）当___________时，y 随着 x 得增大而增大． （5）当___________时，� > �． 【变式 3-2】（2023 春·河南安阳·九年级校考阶段练习）已知抛物线� =− ��� + �� + �． 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 (1)请用配方法将� =− ��� + �� + �化为� = � � − � � + �的形式，并直接写出对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出� =− ��� + �� + �的图象； (3)该抛物线沿 x 轴向左或向右平移 m（� > �）个单位长度后经过原点，求 m 的值． 【知识点 2 二次函数解析式的表示方法】 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 x1，x2 是图象与 x 轴交点的横坐标 ．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有 2 的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b  4ac  0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表 示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 4 用待定系数法求二次函数解析式】 【例 4】（2023 春·北京海淀·九年级期末）已知二次函数� = ��� + �� + �经过� �, � ，� �, � 两点，它的对称轴为 直线� = �，求这个二次函数解析式． 【变式 4-1】 （2023 春·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线� = �，函数的最大值是� = �， 且该抛物线经过坐标原点 �, � ．求此抛物线的函数关系． 【变式 4-2】（2023 春·河北承德·九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数� = �� + �� + �中，函数 y 与 自变量 x 的部分对应值如下表： x y −� 7 −� 2 则 m 的值为（ 0 1 2 3 4 −� −� m 2 7 ） A．−� B．1 C．2 D．−� 【变式 4-3】（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线与�轴交点的横坐标为−�和�，且过点(�, − �)，它对应的函 数解析式为（ ） 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 A．� = �� + � − � 【知识点 3 关注微信公众号：明悉数学 B．� =− �� − � + � 二次函数的平移】 C．� =− ��� − �� + �� D．� = ��� + �� − �� 方法一：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移