初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 九年级上册数学专项训练系列 二次函数中的存在性 【题型 1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 .................................................................................................1 【题型 2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 .................................................................................................3 【题型 3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 .........................................................................................5 【题型 4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 .................................................................................................7 【题型 5 二次函数中矩形的存在性问题】 .............................................................................................................9 【题型 6 二次函数中菱形的存在性问题】 ........................................................................................................... 11 【题型 7 二次函数中正方形的存在性问题】 .......................................................................................................13 【题型 8 二次函数中角度问题的存在性问题】 ...................................................................................................15 【题型 1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例 1】（2022•柳州）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（m，0）两点，与 y 轴交 于点 C（0，5）． （1）求 b，c，m 的值； （2）如图 1，点 D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 D 在第一象限内，过点 D 作 x 轴的平 行线交抛物线于点 E，作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G，过点 E 作 EF⊥x 轴，垂足为点 F，当四边形 DEFG 的周长最大时，求点 D 的坐标； （3）如图 2，点 M 是抛物线的顶点，将△MBC 沿 BC 翻折得到△NBC，NB 与 y 轴交于点 Q，在对称轴 上找一点 P，使得△PQB 是以 QB 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=− � � �� + � � � � + � �与 x 轴 交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 L 经过 C， D 两点，连接 AC． （1）求 A，B 两点的坐标及直线 L 的函数表达式； （2）探索直线 L 上是否存在点 E，使△ACE 为直角三角形，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，说明 理由． 【变式 1-2】（2022 秋•日喀则市月考）如图，二次函数 y＝﹣x2+4x+5 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，M 为抛物线的顶点． （1）求 M 点的坐标； （2）求△MBC 的面积； （3）坐标轴上是否存在点 N，使得以 B，C，N 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【变式 1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C，且 A（﹣1，0），对称轴为直线 x＝2． （1）求该抛物线的表达式； （2）直线 l 过点 A 与抛物线交于点 P，当∠PAB＝45°时，求点 P 的坐标； 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得△BCQ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【题型 2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例 2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）交 x 轴于点 A（﹣1，0），点 B （4，0），交 y 轴于点 C．连接 BC，过点 A 作 AD∥BC 交抛物线于点 D（异于点 A）． （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PE∥y 轴，交 AD 于点 E，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G，连接 PG．求△PEG 面积的最大值及此时点 P 的坐标； � （3）如图 2，将抛物线 y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移 个单位，得到新抛物线 y1，在 y1 的对称轴 � 上确定一点 M，使得△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点 M 的坐标，并任选 其中一个点的坐标，写出求解过程． 【变式 2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的 封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线 C1：y＝x2+2x﹣3 与抛物线 C2：y＝ax2+2ax+c 组成一个开口向 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 上的“月牙线”，抛物线 C1 和抛物线 C2 与 x 轴有着相同的交点 A（﹣3，0）、B（点 B 在点 A 右侧），与 y 轴的交点分别为 G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线 C2 的解析式和点 G 的坐标． （2）点 M 是 x 轴下方抛物线 C1 上的点，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，交抛物线 C2 于点 D，求线段 MN 与线段 DM 的长度的比值． （3）如图②，点 E 是点 H 关于抛物线对称轴的对称点，连接 EG，在 x 轴上是否存在点 F，使得△EFG 是以 EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式 2-2】（2022 秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别是 y 轴正半轴，x 轴 � 正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以 AO，BO 为邻边构造矩形 AOBC，抛物线 y=− �� +3x+k 交 y 轴于点 D，P 为顶点，PM⊥x 轴于点 M． � （1）求 OD，PM 的长（结果均用含 k 的代数式表示）． （2）当 PM＝BM 时，求该抛物线的表达式． （3）在点 A 在整个运动过程中，若存在△ADP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的 k 的值． 【变式 2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线 y＝ax2﹣5ax+4 经过△ABC 的三个顶点，已知 BC ∥x 轴，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC＝BC． 4 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 （1）求抛物线的对称轴； （2）求 A 点坐标并求抛物线的解析式； （3）若点 P 在 x 轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形？若存在，求出所 有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由． 【题型 3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【例 3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和 B（5，0），与 y 轴交于点 C（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，与 BC 交于点 F，点 D 是对称轴上一点，当点 D 关于直线 BC 的 对称点 E 在抛物线上时，求点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，点 Q 在直线 BC 上方的抛物线上，是否存在以 O，P，Q 为顶点的三角 形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． � 【变式 3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线 C1：y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣2，0）， 与 y 轴交于点 C（0，﹣3），顶点为 D． � （1）求抛物线 C1 的表达式和点 D 的坐标； （2）将抛物线 C1 沿 x 轴平移 m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作 C2，C2 的顶点为 D′，与抛 5 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 物线 C1 交于点 E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛 物线 C2 的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由． 【变式 3-2】（2022•琼海二模）如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于点 A（3，0）、B（﹣1，0）， 与 y 轴交于点 C，点 P 为 x 轴上方抛物线上的动点，点 F 为 y 轴上的动点，连接 PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图 1，当点 F 的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP 面积的最大值； （3）如图 2，是否存在点 F，使得△AFP 是以 AP 为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 F 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【变式 3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线 L：y＝x2+bx+c 的图象经过点 A（0，3），B（1，0）， 过点 A 作 AC∥x 轴交抛物线于点 C，∠AOB 的平分线交线段 AC 于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连结 PE、P