初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 二次函数与一元二次方程【八大题型】 【题型 1 根据抛物线与 x 轴交点个数求字母的值（或取值范围）】 .....................................................................1 【题型 2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】 ................................................................................. 2 【题型 3 抛物线与 x 轴交点上的四点问题】 ...............................................................................................................2 【题型 4 抛物线与 x 轴的截线长问题】 ....................................................................................................................... 3 【题型 5 图象法确定一元二次方程的近似根】 .......................................................................................................... 4 【题型 6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】 .................................................................................................. 5 【题型 8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】 ................................................7 【知识点 1 二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 a0 二次函数与 x 轴的交点坐标 2 抛 物 线 y  ax  bx  c (a  0) 与 x 轴交于 ( x1 , 0) ， ( x2 , 0) ( x1  x2 ) 两 △＞0 a0 a0 △＝0 a0 b  b2  4 ac 点，且 x1,2  ， 2a 此时称抛物线与 x 轴相交 2 抛 物 线 y  ax  bx  c (a  0) 与 x 一元二次方程根的情况 一元二次方程 ax 2  bx  c  0(a  0) 有两个不相等的实数根 x1,2  b  b 2  4ac 2a 一元二次方程 ax 2  bx  c  0(a  0)  b  , 0  这一点，此时称 有 两 个 相 等 的 实 数 根  2a  b x1  x2   抛物线与 x 轴相切 2a 轴交切于   一元二次方程 △＜0 a0 抛 物 线 y  ax  bx  c (a  0) 与 x 2 ax 2  bx  c  0(a  0) 轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相离 在实数范围内无解（或称 无实数根） 【题型 1 根据抛物线与 x 轴交点个数求字母的值（或取值范围）】 【例 1】（2023 春·广东广州·九年级期末）已知抛物线� = ��� + �� − �与坐标轴有三个交点，则 k 的取值范围（ A．� ≥− � B．� >− � C．� ≥− �且� ≠ � D．� >− �且� ≠ � ） 【变式 1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于 x 的函数 y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2 的图象与坐标轴有两个交点，则 a 的值为 ． 1 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 【变式 1-2】（2023 春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线 y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1 与 x 轴交于两点，如果 � 有一个交点的横坐标大于 2，另一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与 y 轴的交点在点（0，− �）的下方，那么 m 的取值范围是（ � A． < � < � � � ） B．� < � C．� > � � D．全体实数 � 【变式 1-3】（2023 春·广东惠州·九年级校考期末）已知二次函数� = ��� − ��� + �的图象与�交于点�和点�（点 �在点�的左侧），与�轴交于点�，△ ���是以��为底的等腰三角形，那么�的值为 【题型 2 ． 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】 【例 2】（2023 春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数� = ��� + �� + �的部分图象，图象过点 �, � ，对称 轴为直线� = �，下列结论：①��� > �；②� − � + � = �；③�的最大值为 3；④方程��� + �� + � + � = �有实数 根；⑤�� + � < �．其中正确的结论为 （填序号）． 【变式 2-1】（2023 春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线� = ��� + �� + �的顶点�在�轴上，点�的坐标如图所示， 则一元二次方程��� + �� + � = �的根是 ． 【变式 2-2】（2023 春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于�的一元二次方程��� + � = � 的一个根为 2，则二次函数� = � � + � A． −�, � 、 �, � � + �与�轴的交点坐标为（ C． −�, � 、 �, � ） B． −�, � 、 �, � D． −�, � 、 �, � 【变式 2-3】（2023 春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于 x 的一元二次方程�� + � = �有两个不相等的 实数根，则抛物线� = �� + � − �的顶点在第 【题型 3 象限． 抛物线与 x 轴交点上的四点问题】 【例 3】（2023 春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线� = (� − �� )(� − �� ) + �(�� < �� )，抛物线与� 轴交于 �，� ，(�，�)两点(� < �)，则�，�，�� ，�� 的大小关系是（ A．�� < � < � < �� B．� < �� < �� < � ） 2 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 C．� < �� < � < �� D．�� < � < �� < � 【变式 3-1】（2023 春·浙江台州·九年级统考期末）抛物线� = ��� + �� + � � > � 与 x 轴交于 �� , � ， �� , � 两点， 将此抛物线向上平移，所得抛物线与 x 轴交于 �� , � ， �� , � 两点，下列说法正确的是（ A．�� + �� > �� + �� ） B．�� + �� < �� + �� C．�� + �� = �� + �� D．�� − �� = �� − �� 【变式 3-2】（2023 春·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线� = �� + �� + �的图象与 x 轴的两交点的横坐标分别 �、�(� < �)，而�� + �� + � − � = �的两根为�、�(� < �)，则�、β、M、N 的大小顺序为（ A．� < � < � < � ） B．� < � < � < � C．� < � < � < � D．� < � < � < � � 【变式 3-3】（2023 春·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线� =− �� − � + �与 x 轴交 � � 于 A、B 两点，抛物线� =− �� + � + �与 x 轴交于 C、D 两点，其中� > �．若�� = ���，则 n 的值为______． � 【题型 4 抛物线与 x 轴的截线长问题】 【例 4】（2023 春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系���中，抛物线� = ��� − ��� + � − �（� ≠ �） 与�轴交于点�，�．若线段��上有且只有 7 个点的横坐标为整数，则�的取值范围是（ A．� > � C．� > B． � D． �� � �� � �� <�≤ <�< ） � � � � 【变式 4-1】（2023 春·江苏淮安·九年级校考期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组 x 与 y 的对应 值． � � …… …… −� 3 −� 4 0 1 2 3 0 −� (1)求该二次函数的表达式； (2)当� = �时，x 的值为 …… …… ； (3)该二次函数图像与直线� = �有两个交点 A、B，若�� > �时，n 的取值范围为 ． 【变式 4-2】 （2023 春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数�，抛物线� = �(� + �)�� − (�� + �)� + � 3 初中学习资料 QQ 群 164307271 关注微信公众号：明悉数学 与�轴交于�� 、�� 两点，以�� �� 表示这两点间的距离，则�� �� + �� �� +⋅⋅⋅+ ����� ����� 的值是（ A． ���� B． ���� ���� ���� ���� C． ���� ） D． ���� ���� 【变式 4-3】 （2023 春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线� = ��� + �� + � � ≠ � 与�轴交于点� �� , � ， � �� , � ，那么我们把线段��叫做雅礼弦，��两点之间的距离�称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线� = �� − �� − �的雅礼弦长； (2)求抛物线� = �� + � + � � − �(� ≤ � < �)的雅礼弦长的取值范围； (3)设�，�为正整数，且� ≠ �，抛物线� = �� + � − �� � − ���的雅礼弦长为�� ，抛物线� =− �� + � − � � + �� 的雅礼弦长为�� ，� = ��� − ��� ，试求出�与�之间的函数