更多学习资料咨询微信：yls092310 第二章 有理数及其运算 1．有理数的分类 正整数（自然数） 整 数 零 负整数 有理数 正分数 分 数 正数 有 理 数 正整数 正分数 零 负数 负整数 负分数 负 分 数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一 不可） 。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 3） 正数都大于 0,负数都小于 0；正数大于一切负数； 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 1）数 a 的相反数是-a（a 是任意一个有理数） 2）0 的相反数是 0. 3） 若 a、b 互为相反数，则 a+b=0. 4．倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 5．绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。数 a 的绝对值记作︱a︱ 1) 对任何有理数 a,总有︱a︱≥0. 2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 3） 若 a＞0，则︱a︱= a ;若 a＜0，则︱a︱= -a ;若 a =0，则︱a︱= 0 6．有理数比较大小： 1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 2）数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 3）两个负数，绝对值大的反而小。 7．有理数的运算 ： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 提分笔记加老师微信：yls092310 ; 更多学习资料咨询微信：yls092310 （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的，对只含乘除，或只含加减 的运算，应从左往右运算。 （3）运算法则 1)有理数加法法则 ① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加； ② 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反 数的两数相加得 0； 2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即 a-b=a+(-b) 3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都 得 0. ① 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当 因数有偶数个时，积为正. ② 几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0. 4)有理数除法法则 ② ①除以一个数等于乘上这个数的倒数; 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 0. 5)有理数的乘方 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. （4）运算律 加法交换律 ab ba 加法结合律 (a  b)  c  a  (b  c) 乘法交换律 ab  ba 乘法结合律 (ab )c  a (bc ) 乘法对加法的分配律 a (b  c )  ab  ac 考点一、表示相反意义的量 例1 一箱苹果的重量标识为“10±0.25”千克，则下列每箱苹果重量中合格的是（ A．9.70 千克 B．10.30 千克 C．9.60 千克 D．10.21 千克 【答答案】根据“10±0.25 千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案． 提分笔记加老师微信：yls092310 ） 更多学习资料咨询微信：yls092310 【解析】∵10﹣0.25＝9.75（千克），10+0.25＝10.25（千克）， ∴合格范围为：9.75～10.25 千克． 故选：D． 考点 2 例2 有理数相关概念 下列各数： - A．3  8 7 ，1.010010001， ，0，﹣π，﹣2.626626662…， 0.1 2 ，其中有理数的个数是（ 33 4 B．4 C．5 ） D．6 【答案】直接利用有理数的概念分析得出答案． 【解析】解：﹣ ，0，0. ，1.010010001， ，0，﹣π，﹣2.626626662…，0. ，其中有理数为：﹣ ，共 5 个． 故选：C． 例 3 下列说法正确的是（ ） A．正数与负数互为相反数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．数轴上原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数 D．任何一个有理数都有它的相反数 【答案】A、B、C 可举反例判断，D 根据相反数的概念解答即可． 【解析】解：A、B、C、如+3 和﹣2 不是互为相反数，故本选项错误； D、任何一个有理数都有它的相反数，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数． 例 4 下列说法正确的是（ ） A．绝对值等于 3 的数是﹣3 B．绝对值不大于 2 的数有±2，±1，0 C．若|a|＝﹣a，则 a≤0 D．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数 【答案】C 【解析】A、绝对值等于 3 的数是 3 和﹣3，故错误； B、绝对值不大于 2 的整数有±2，±1，0，故错误； C、若|a|＝﹣a，则 a≤0，正确， 提分笔记加老师微信：yls092310 ，1.010010001， 更多学习资料咨询微信：yls092310 D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误， 故选：C． 考点 3 例5 利用数轴判断符号 有理数 a、b、c 在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b） （b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（ ）个． A．4 D．1 B．3 C．2 【答案】B 【解析】由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1． ∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确； ∵a＜b，b＜c，a＜c， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a， |a﹣c|＝c﹣a， ∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确； ∵a＜b，b＜c，a＜c， ∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0 ∴（a﹣b）（b﹣c） （c﹣a）＞0，故③正确； ∵a＜﹣1，∴|a|＞1， ∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1， ∴1﹣bc＜1， ∴|a|＞1﹣bc，故④不正确． 故选：B． 考点 4 利用相反数、倒数、绝对值定义求值 例 6 已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值等于 3，求 m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018 的值． 【解析】∵a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值等于 3， ∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝3， 当 m＝﹣3 时，m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝（﹣3）2+（1+0）×（﹣3）+12018＝9+1×（﹣3）+1＝9+ （﹣3）+1＝7； 当 m＝3 时，∴m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018＝13 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 考点 5 利用绝对值、乘方的性质求值 例 7 若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c． 计算 a+b﹣c 的值． 【解析】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6， ∴a＝±2，b＝±3，c＝±6， ∵|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c， ∴a+b≤0，b+c≥0， ∴a＝±2，b＝﹣3，c＝6， ∴当 a＝2，b＝﹣3，c＝6 时， a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣6＝﹣7， a＝﹣2，b＝﹣3，c＝6 时， a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣6＝﹣11． 考点 6 例8 绝对值及偶次乘方的非负性 当 x＝ 时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为 ． 【答案】1，-10 【解析】解：∵|x﹣1|最小为 0， ∴当 x＝1 时，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值为：﹣10． 故解析为：1，﹣10． 例9 若（x﹣2）2 与|x+2y|互为相反数，则 y﹣x＝ ． 【答案】-3 【解析】解：∵（x﹣2）2 与|x+2y|互为相反数， ∴x﹣2＝0，x+2y＝0， 解得：x＝2，y＝﹣1， 故 y﹣x＝﹣1﹣2＝﹣3． 故解析为：﹣3． 考点 7 有理数混合运算 例 10 计算： 1 3 5 （1） (   )  36 6 4 12 1 2 8 （2） (3) 2  2  ( )  4  22  ( ) 4 3 3 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 【解析】解：（1）原式＝﹣6+27﹣15＝6； （2）原式＝9× 考点 8 例 11 ×（﹣ ）+4+4×（﹣ ）＝﹣ +4＝﹣ ﹣ ． 有理数混合运算的应用 某工厂一周计划每日生产自行车 100 辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每 日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数） ： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10 （1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？ （2）本周总生产量是多少？比原计划增加了还是减少了？增减数为多少？ 【解析】解：（1）7﹣（﹣10）＝17（辆） ； （2）100×7+（﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10）＝696（辆） ， 答：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产 17 辆； （2）本周总生产量是 696 辆，比原计划减少了 4 辆． 考点 9 例 12 科学记数法及近似数 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，某省 2019 年一季度清理垃圾约 1.16×107 方，数字 1.16×107 表示（ A．1.16 亿 ） B．116 万 C．1160 万 D．11.6 亿 【答案】C 【解析】解：1.16×107＝11600000＝1160 万． 故选：C． 考点 10 有关数轴的探究题 例 13 如图，数轴上 A，B 两点对应的数分别﹣4，8．有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长 度；然后在新的位置第二次运动，向右运动 2 个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动 3 个单位长 度，…按照如此规律不断地左右运动 （1）当运动到第 2018 次时，求点 P 所对应的有理数． （2）点 P 会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点 P 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距