更多学习资料咨询微信：yls092310 第五章 一元一次方程 1 方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。 2 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 检验一个数是不是方程的解：将数值供稿方程左、右两边的代数式，比较方程左、右两边的值。 若左边=右边，则此数值是方程的解， 若左边≠右边，则此数值不是方程的解 3 等式的性质 （1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为 0 的数） ，所得结果仍是等式。 4 一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。 一元一次方程必须满足的条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的次数都是 1，二者缺一不可。 5 解一元一次方程的一般步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→将未知数的系数化为 1 变形名称 具体做法 变形依据 注意事项 去分母 两边同时乘各分母的最小公倍数 等式的基本性质 2 不要漏乘不含分母的项 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 去括号法则、乘法分 不要漏乘括号内的每一项， 括号 配律 注意符号 含有未知数的项移到方程的一边，常 等式的基本性质 1 移项要变号，不要漏项 移项 数项移到另一边 合并同类项 把方程化成 mx=n(m≠0)的形式 合并同类项法则 系数相加，字母及指数不变 系数化为 1 两边都除以未知数的系数，把方程化 等式的基本性质 2 分子、分母不要颠倒 为 x=a 的形式 6 列一元一次方程解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系； （2）设未知数，一般求什么就设什么为 x，有时也可间接设未知数； （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程； （4）解方程 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 （5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）作答。 考点 1 一元一次方程的定义 例 1 在方程①3x+y＝4，②2x﹣ 为（ ＝5，③3y+2＝2﹣y，④2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）中，是一元一次方程的个数 ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】解：①3x+y＝4 中含有 2 个未知数，属于二元一次方程，不符合题意， ②2x﹣ ＝5 是分式方程，不符合题意； ③3y+2＝2﹣y 符合一元一次方程的定义，符合题意； ④由 2x2﹣5x+6＝2（x2+3x）得到：﹣11x+6＝0 符合一元一次方程的定义，符合题意； 故选：B． 考点 2 等式的基本性质 例 2 如图，其中图（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使图（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放 入砝码的克数为（ A．25 克 ） B．30 克 C．40 克 D．50 克 【答案】C 【解析】设三角形重为 x，圆形重为 y， ∴3x+2y＝80，3y+2x＝70， ∴x+y＝30， ∴3y+2x﹣（x+y）＝70﹣30 ∴x+2y＝40， 故选：C． 考点 3 一元一次方程的解 例 3 已知 a 为正整数，且关于 x 的一元一次方程 ax﹣14＝x+7 的解为整数，则满足条件的所有 a 的值之和为 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 （ ） A．36 B．10 C．8 D．4 【答案】A 【解析】ax﹣14＝x+7， 移项得：ax﹣x＝7+14， 合并同类项得：（a﹣1）x＝21， 若 a＝1，则原方程可整理得：﹣14＝7，（无意义，舍去）， 若 a≠1，则 x＝ ， ∵解为整数， ∴x＝1 或﹣1 或 3 或﹣3 或 7 或﹣7 或 21 或﹣21， 则 a﹣1＝21 或﹣21 或 7 或﹣7 或 3 或﹣3 或 1 或﹣1， 解得：a＝22 或﹣20 或 8 或﹣6 或 4 或﹣2 或 2 或 0， 又∵a 为正整数， ∴a＝22 或 8 或 4 或 2， 22+8+4+2＝36， 故选：A． 考点 4 解一元一次方程 例 4 解方程 （1）3x﹣5（x﹣2）＝2； （2） ＝1； （3） 【答案】（1）去括号得：3x﹣5x+10＝2， 移项合并得：﹣2x＝﹣8， 解得：x＝4； （2）去分母得：8x+4﹣3x+6＝12， 移项合并得：5x＝2， 解得：x＝ ． （3）方程整理得：5x﹣1＝ 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 考点 5 同解方程 例 5 已知关于 x 的方程 （2x+3）﹣3x＝ 2019 和 3x+2m＝6x+1 的解相同，求：代数式（﹣2m）2020﹣（m﹣ ） 的值． 【答案】解方程 （2x+3）﹣3x＝ ，得： 2x+3﹣6x＝3， ∴x＝0， ∵方程 （2x+3）﹣3x＝ 和 3x+2m＝6x+1 的解相同， ∴2m＝1 解得：m＝ ， 所以（﹣2m）2020﹣（m﹣ ）2019 ＝（﹣2× ）2020﹣（ ）2019 ﹣ ＝1﹣（﹣1） ＝2． 考点 6 一元一次方程之利润问题 例 6 元旦期间，某商场用 1400 元购进了甲、乙两种商品，共 100 件，进价分别是 18 元、10 元． （1）求甲、乙两种商品各购进了多少件？ （2）商场搞促销活动，若同时购买甲、乙两种商品各 1 件，可享受标价的 8 折优惠，此时这两种商品的 利润率是 10%，求这两种商品的标价总共多少元？ 【答案】（1）设甲购进了 x 件，则乙购进了（100﹣x）件， 由题意，得：18x+10（100﹣x）＝1400， 解得：x＝50， 100﹣x＝50， 答：甲、乙两种商品各购进了 50 件； （2）设两种商品的标价总共 y 元． 由题意，得：（18+10）×（1+10%）＝0.8y， 解得：y＝38.5， 答：两种商品的标价总共 38.5 元． 考点 7 一元一次方程之工程问题 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 例 7 为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需 4 个月完成， 若请乙工程队单独做此工程需 6 个月完成，若甲、乙两队合作 2 个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程 队再单独需几个月能完成？ 【答案】设乙工程队再单独需 x 个月能完成， 由题意，得 2× + + x＝1． 解得 x＝1． 答：乙工程队再单独需 1 个月能完成． 考点 8 一元一次方程之行程问题 例 8 A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开往 B 地；2 小时后，乙列车从 B 地开往 A 地，经过 4 小时 与甲列车相遇．已知甲列车比乙列车每小时多行 50 千米．甲列车每小时行多少千米？ 【答案】设甲列车每小时行 x 千米，可得： 4（x﹣50+x）+2x＝1000． 4x﹣200+4x+2x＝1000， 10x＝1200， x＝120． 答：甲车每小时行 120 千米 考点 9 一元一次方程之方案设计问题 例 9 某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂 价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元． （1）若家电商场同时购进 A、B 两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，求商场购进这两种型号 的电视机各多少台？ （2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，销售一台 C 种电 视机可获利 250 元．该家电商场用 9 万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共 50 台，为了使销售时 获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？ 【答案】（1）设购 A 种电视机 x 台，则购 B 种电视机购（50﹣x）台． 1500x+2100（50﹣x）＝90000 即 5x+7（50﹣x）＝300 2x＝50 x＝25 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 50﹣x＝25． 答：购 A、B 两种电视机各 25 台． （2）按购 A，B 两种，B，C 两种，A，C 两种电视机这三种方案分别计算： 设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台 ①当选购 A，B 两种电视机时，设购 A 种电视机 x 台，购 B 种电视机（50﹣x）台， 可得方程 1500x+2100（50﹣x）＝90000 即 5x+7（50﹣x）＝300 2x＝50 x＝25 50﹣x＝25 ②当选购 A，C 两种电视机时，设购 A 种电视机 x 台，购 C 种电视机（50﹣x）台， 可得方程 1500x+2500（50﹣x）＝90000 3x+5（50﹣x）＝180 x＝35 50﹣x＝15 ③当购 B，C 两种电视机时，设购 B 种电视机 y 台，购 C 种电视机为（50﹣y）台，可得方程 2100y+2500（50﹣y）＝90000 21y+25（50﹣y）＝900，4y＝350，不合题意． 由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机各 25 台； 二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台． 若选择（1）中的方案①，可获利 150×25+200×25＝8750（元） 若选择（1）中的方案②，可获利 150×35+250×15＝9000（元） 9000＞8750 故为了获利最多，选择购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出 合适的等量关系：两种电视的台数和＝50 台，买两种电视花去的费用＝9 万元．列出方程，再求解． 考点 10 一元一次方程之数轴动点问题 例 10 如图在以点 O 为原点的数轴上，点 A 表示的数是 3，点 B 在原点的左侧，且 AB＝6AO（我们把数轴 上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点 A 与点 B 之间的距离记作 AB）． （1）B 点表示的数是 ； （2）若动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后 PA＝3PB？并 求出此时 P 点在数轴上对应的数； （3）若动点 M、P、N 分别同时从 A、O、B 出发，匀速向右运动，其速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒