第四章 基本平面图形 1 线段、射线、直线 （1）直线有三个特征：一是直的，二是没有端点，三是向两方无限延伸； （2）射线有三个特征：一是直的，二是有一个端点，三是向一方无限延伸； （3）线段有两个特征：一是直的，二是有两个端点。 （4）直线、射线、线段的表示方法 名称 图例 表示方法 直线 用一个小写字母表示，如直线 l； l A B 用两个表示端点的字母表示，如直段 AB 或 直段 BA 射线 O 用一个小写字母表示，如射线 l； M 用两个大写字母表示，端点在前，如射线 OA 线段 用一个小写字母表示，如线段 a； l A B 用两个表示端点的字母表示，如线段 AB 或 线段 BA （5）线段、射线、直线的区别与联系 名称 不 同 点 线段 射线 直线 端点个数 2个 1个 无 伸展性 不能延长 只能向一个方向延长 向两个方向延长 度量 可以度量 不可度量 不可度量 联系 将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就 形成了直线，线段和射线都可以看做直线的一部分 共同点 都是直的，不是曲的 2 直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（两点确定一条直线。） （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 3 线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间线段最短。） （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 4 线段的中点： 点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。 AM = BM =1/2AB （或 AB=2AM=2BM）。 5 角： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这 两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 6 角的四种表示方法 ① 用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。 ② 用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ 等。 ③ 用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。 ④ 用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。 注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 7 角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表 示，1 度记作“1°”，n 度记作“n°”。 把 1°的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，1 分记作“1’”。 把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1””。 1°=60’，1’=60” 8 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的 平分线。 9 角的性质 （1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。 （2）角的大小可以度量，可以比较，角可以参与运算。 10 平角和周角： 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 11 多边形： 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 从一个 n 边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（ n-3）条 对角线，把这个 n 边形分割成（n-2）个三角形。 12 圆： 平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。 固定的端点 O 称为圆心， 线段 OA 的长称为半径的长（通常简称为半径）。 圆上任意两点 A、B 间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”； 由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA、OB 所组成的图形叫做扇形。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 考点 1 线段、射线、直线基本概念 例 1 下列说法中正确的个数是（ ） ① 线段 AB 和射线 AB 都是直线的一部分； ② 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线； ③ 射线 AB 和射线 BA 是同一条射线； ④ 把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【答案】解：①线段 AB 和射线 AB 都是直线的一部分，正确； ② 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线，正确； ③ 射线 AB 的端点是点 A，射线 BA 的端点是点 B，不是同一条射线，故本小题错误； ④ 把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述，说法正确的是①②④共 3 个． 故选：C． 考点 2 钟面上的角度问题 例 2 时钟表面 11 点 15 分时，时针与分针所夹角的度数是 【答案】112.5． 【答案】11 点 15 分时，时针与分针相距 份， 度． 11 点 15 分时，时针与分针所夹角的度数是 30× ＝ ＝112.5°， 故答案为：． 考点 3 与角平分线有关的角度计算 例 3 如图所示． （1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度 数； （2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON 的大小． 【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°， ∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC， ∴∠MOC＝ ∠AOC＝60°，∠CON＝ ∠BOC＝15°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°； 故答案为：45°； （2）同理可得，∠MOC＝ （α+β），∠CON＝ 则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝ （α+β）﹣ 考点 4 尺规作图 例 4 已知：∠α，∠β，线段 c． 求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c （不写作法，保留作图痕迹） β＝ β， α． 【分析】①先作∠MAN＝∠α，②在 AM 上截取 AB＝a，③在 AB 的同侧作∠ABD＝ ∠β，AN 与 BD 交于点 C，即可得出△ABC． 【答案】解：如图所示：△ABC 即为所求． 考点 5 与中点有关的长度计算 例 5 如图，线段 AB，C 是线段 AB 上一点，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点． （1）若 AB＝8cm，AC＝3.2cm，求线段 MN 的长； （2）若 BC＝a，试用含 a 的式子表示线段 MN 的长． 【分析】（1）根据中点定义求出 AM 和 AN，则 MN＝AM﹣AN； （2）由 MN＝AM﹣AN 得：MN＝ ＝ ． 【答案】解：（1）因为 AB＝8cm，M 是 AB 的中点， 所以 AM＝ ＝4cm， 又因为 AC＝3.2cm，N 是 AC 的中点， 所以 AN＝ ＝1.6cm， 所以 MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm； （2）因为 M 是 AB 的中点， 所以 AM＝ ， 因为 N 是 AC 的中点， 所以 AN＝ ， ＝ ∴MN＝AM﹣AN＝ ＝ ＝ ． 考点 6 与几何有关的规律问题 例 6 为了探究 n 条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手． （1）一条直线把平面分成 2 部分； （2）两条直线最多可把平面分成 4 部分； （3）三条直线最多可把平面分成 7 部分…； 把上述探究的结果进行整理，列表分析： 直线条数 把平面分成部分数 写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 … … … （1）当直线条数为 5 时，把平面最多分成 （2）当直线为 10 条时，把平面最多分成 （3）当直线为 n 条时，把平面最多分成 部分，写成和的形式 ； 部分； 部分．（不必说明理由） 【答案】解：（ 1 ）根据表中规律，当直线条数为 5 时，把平面最多分成 16 部分 ， 1+1+2+3+4+5＝16； （2）根据表中规律，当直线为 10 条时，把平面最多分成 56 部分，为 1+1+2+3+…+10 ＝56； （3）设直线条数有 n 条，分成的平面最多有 m 个． 有以下规律： n m 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 ： ： ： n m＝1+1+2+3+…+n＝ +1． 考点 7 多边形的对角线 例 7 一个多边形从一个顶点出发，最多可以作 2 条对角线，则这个多边形是（ A．四边形 B．五边形 C．六边形 ） D．七边形 【分析】根据 n 边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，得出 n﹣3＝2，求出 n 即可． 【答案】解：设这个多边形的边数是 n，由题意得 n﹣3＝2，解得 n＝5． 故选：B． 考点 8 线段上的动点问题 例 8 如图，已知数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且满足（a﹣6 ） 2+|b+4|＝ 0． （1）写出 a、b 及 AB 的距离： a＝ b＝ AB＝ （2）若动点 P 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点 Q 从点 B 出发，以每秒 4 个单位长度向左匀速运动． ① 若 P、Q 同时出发，问点 P 运动多少秒追上点 Q？ ② 若 M 为 AP 的中点，N 为 PB 的中点，点 P 在运动过程中，线段 MN 是否发生变化？ 若变化，请说明理由；若不变，请求出线段 MN 的长． 【答案】解：（1）∵（a﹣6）2+|b+4|＝0， ∴a﹣6＝，b+4＝0， 解得 a＝6，b＝﹣4， ∴AB＝10， 故答案为：6；﹣4；10； （2）①设点 P 运动 t 秒时追上点 Q，则 6t﹣4t＝10， ∴t＝5， 即：点 P 运动 5 秒时追上点 Q； ② 答：线段 MN 不发生变化，理由： 当 P 在线段 AB 之间时： MN＝AB﹣（BN+AM）， ＝AB﹣（ BP+ AP） ＝AB﹣ （BP+AP）， ＝AB﹣ AB＝5， 当 P 在线段 AB 的延长线上时， MN＝ AP﹣ PB＝ AB＝5， 故 MN 的长不发生变化． 一、选择题 1．下图中射线 OA 与 OB 表示同一条射线的是( A. B. ) C. D. 2.下列说法： ① 两点之间的所有连线中，线段最短； ② 在数轴上与表示﹣