更多学习资料咨询微信：yls092310 第三章 整式及其加减 1 代数式 （1）定义：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。 （2）注意：①运算符号包括（加、减、乘、除、乘方、开方等） ②代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ③代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的 式子一般都是代数式； ④代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意 义。 ⑤单独的一个数或一个字母也是代数式。 （3）代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a； 1 3 ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 2  a 应写作 7 a； 3 ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4）应写作 4 ；注意：分数线具 a4 有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后 面，如 (a 2  b 2 ) 平方米。 2 整式：单项式和多项式统称为整式。 3 单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。 （1）单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数； 数字因数叫做这个单项式的系数。 （2）注意：①单独的一个数或一个字母也是单项式； ②单独一个非零数的次数是 0； ③当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a3b 的系数是 1。 4 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 （1）多项式中，每个单项式叫做多项式的项； 次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 （2）多项式中各单项式前的“+”或“-”是这个单项式的性质符号，多项式中的“和”是指省略加号的代数和， 故确定多项式的项时，不要忽略它们的符号。 5 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （1）注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。 ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。 （2）合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 6 去括号 （1）去括号法则 ①根据去括号法则去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符 号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。 ②根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。 7 添括号法则 添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。 8 整式的运算： 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 考点 1 代数式书写规范 例 1 下列式子中，符合代数式书写格式的有 ( ) 1 1 ① m  n ；② 3 ab ；③ ( x  y ) ；④ m  2 天；⑤ abc3 3 4 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【解析】①正确的书写格式是 mn； ②正确的书写格式是 ab； ③的书写格式是正确的， ④正确的书写格式是（m+2）天； 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 ⑤的书写格式是正确的． 故选：A． 考点 2 同类项及合并同类项 例 2 若单项式 5 2 n 1 7 ax y 与  ax m y 4 的差仍是单项式，则 m  n  ( 7 5 B． 1 A．5 C．1 ) D．4 【答案】B 【答案】解：∵单项式 ∴单项式 ax2yn+1 与﹣ ax2yn+1 与﹣ axmy4 的差仍是单项式， axmy4 是同类项， ∴n+1＝4，m＝2， 解得：m＝2，n＝3， 则 m﹣n＝2﹣3＝﹣1． 故选：B． 考点 3 列代数式 例 3 已知一个两位数，个位数字为 b ，十位数字比个位数字大 a ，若将十位数字和个位数字对调，得到一个 新的两位数，则原两位数与新两位数之差为 ( A． 9a  9b B． 9b  9a ) C． 9a D． 9a 【思路点拨】分别表示出愿两位数和新两位数，进而得出答案． 【答案】解：由题意可得，原数为：10（a+b）+b； 新数为：10b+a+b， 故原两位数与新两位数之差为：10（a+b）+b﹣（10b+a+b）＝9a． 故选：C． 考点 4 单项式与多项式概念 例 4 多项式 3x|m| y 2  (m  2) x 2 y  1 是关于 x 、 y 的四次三项式，则 m 的 值为 ． 【答案】2． 【答案】解：∵关于 x、y 的多项式 3x|m|y2+（m+2）x2y﹣1 是四次三项式， ∴|m|+2＝4，m+2≠0， 解得：m＝2， 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 故答案为：2． 考点 5 整式加减情景题 例 5 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图： （1）求所捂的二次三项式； （2）若 x  1 ，求所捂二次三项式的值． 【解析】解：（1）根据题意得：x2﹣5x+1+3x＝x2﹣2x+1； （2）当 x＝﹣1 时，原式＝1+2+1＝4． 考点 6 整式加减化简求值 例 6 先化简，再求值：已知 x 2  2 y  5  0 ，求 3( x 2  2 xy )  ( x 2  6 xy )  4 y 的 值． 【思路点拨】原式先去括号，再合并同类项化简，继而由 x2﹣2y﹣5＝0 知 x2﹣2y＝5，代入原式＝2（x2 ﹣2y）计算可得． 【答案】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y ＝2x2﹣4y， ∵x2﹣2y﹣5＝0， ∴x2﹣2y＝5， 则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10． 【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关 键． 考点 7 代数式求值—整体代入法 例 7 已知： 2 x  y  5 ，求 2( y  2 x)2  3 y  6 x 的值． 【答案】解：原式＝﹣2（2x﹣y）2﹣3（2x﹣y）， 又∵2x﹣y＝5， ∴原式＝﹣2×52﹣3×5， ＝﹣65． 考点 8 代数式求值—赋值法 例 8 已知 ( x  1) 2 ( x 2  7)3  a0  a1 ( x  2)  a2 ( x  2)  a8 ( x  2)8 ，则 a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 的值为多少？ 【思路点拨】可先令 x＝﹣2，得 a0＝﹣27，a8＝1，再令 x＝﹣3，即 x+2＝﹣1，那么右边 x+2x+2 奇次方 是﹣1，偶次方是 1，就能得到，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8＝（﹣2）2×23．再把 a0＝﹣27，a8＝1 代入即求出答案． 【答案】解：令 x＝﹣2 则 x+2＝0 所以右边只剩下 a0， 所以 a0＝（﹣1）2×（﹣3）3＝﹣27， 左边 8 次方的系数是 1， 右边 8 次方的系数是 a8，所以 a8＝1， 令 x＝﹣3 则 x+2＝﹣1， 所以 x+2 奇次方是﹣1，偶次方是 1， 所以右边＝a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7+a8 左边＝（﹣2）2×23＝32， 所以﹣27﹣（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7）+1＝32， a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7＝﹣58． 故答案为：﹣58． 考点 9 代数式求值—面积问题 例 9 如图所示是一个长方形，阴影部分的面积为 S （单位： cm2 ) ．根据图中尺寸，解答下列问题： （1）用含 x 的代数式表示阴影部分的面积 S ； （2）若 x  3 ，求 S 的值． 【思路点拨】（1）根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积的一半减去直角三角形的面积，据 此可得； （2）将 x＝3 代入所得解析式计算可得． ×10×5﹣ 【答案】解：（1）S＝ ＝ + x． （2）当 x＝3 时，S＝ 考点 10 ×5×（5﹣x） + ×3＝20． 代数式求值—方案设计问题 提分笔记加老师微信：yls092310 更多学习资料咨询微信：yls092310 例 10 郑东新区九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛 球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价 40 元，羽毛球每个定价 5 元．“双十一”期间 A 、 B 两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A 网店：买一副球拍送 1 个羽毛球； B 网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的 90% 付款． 已知要购买羽毛球拍 30 副，羽毛球 x 个 ( x  30) : （1）若在 A 网店购买，需付款 元（用含 x 的代数式表示）；若在 B 网店购买，需付款 元． （用含 x 的 代数式表示）； （2）若 x  40 时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）当 x  40 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算出需付款多少元？ 【思路点拨】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把 x＝40 代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先 A 网店购买 30 副羽毛球拍，送 30 个羽毛球，另外 10 副羽毛 球拍在 B 网店购买即可． 【答案】解：（1）A 网店购买需付款 30×40+（x﹣30）×5＝5x+30×（40﹣5）＝（5x+1050）元； B 网店购买需付款 40×90%×30+5×90%×x＝（4.5x+1080）元． 故答案为：（5x+1050），（4.5x+1080）； （2）当 x＝40 时， A 网店需 5×40+1050＝1250（元） ； B 网店需 4.5×40+1080＝1260（元）； 所以按方案一购买合算； （3）先 A 网店购买 30 副羽毛球拍，送 30 个羽毛球需 1200 元，差 10 个羽毛球 B 网店购买需 45 元，共 需 1245 元． 一、选择题 1．在