第7讲 有理数章节复习 目标导航 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用； 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 知识精讲 知识点 01 有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 表示没有 表示某种状态 表示正数与负数的界点 0 是自然数、是有理数 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示 00 C 表示冰点 0 非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如  ． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原 点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“  ”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“  ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果 为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 数 a 的 绝对值记作 a ． （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离． 【知识拓展 1】已知 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 的值． 【即学即练 1】选择题 （1）已知四种说法： ①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ②|a|就是 a 与-a 中较大的数. ③|a|就是数轴上 a 到原点的距离. 其中说法正确的个数是（ A．1 B．2 C．3 ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|. ） D．4 （2）有四个说法： ①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ A．①② ） B．③④ C．②④ （3）已知(-ab)3>0，则（ A．ab<0 B．ab>0 D．①② ） C．a>0 且 b<0 D．a<0 且 b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ A．120 B．-15 C．0 D．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ A．-a6 与(-a)6 B．-a3 与|-a|3 ） ） C．[(-a)2]3 与(-a3)2 D．(ab)3 与 ab3 【即学即练 2】中国的陆地面积约为 9 600 000km2，把 9 600 000 用科学记数法表示为 ． 【知识拓展 2】 在下列两数之间填上适当的不等号：  99 100 ________  ． 100 101 【即学即练 1】在下列两数之间填上适当的不等号．  111 1111 _________  ． 1111 11111 知识点 02 有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加取 绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同 0 相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0 相乘，都得 0． （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a· 1 (b≠0) ． b （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数， 0 的任何非零次幂都是 0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如： （－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为 2 3 正，例如： ( 3)  9 ， ( 3)  27 ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； （3）分配律：a(b+c)=ab+ac ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) 2  3    1  3  1  2  1 4 【知识拓展 1】．(1)  4    3    6    2  2 3 1 (3)  2   4      12  15  2 4  2 5  1  3  3  4 (4) 1  1   1  12    2   2  2 1  1  3  2 53   1 100 (5) 【即学即练 1】 5 7 2 （1） [(  )  1 (2) (  11 7 8 3 2   0.25]  199   [(  ) 2  2] 14 8 9 2 3 5 15 3 )   (1.5)  ( ) 12 4 4 7 7   7  5  1        2.5      8 12   8  6  3 1 2 2 5 9 5 9 1 2 1 2 3 （2） ( 1 )  (  )  (  )  ( 2 )  (  )  【知识拓展 2】．先观察下列各式： 5 9 1 1 1 1 11 1  1   ；    ； 1 4 3  4  4  7 3  4 7  1 11 1  1 11 1      ；…；     ，根据以上观察，计算： 7 10 3  7 10  n(n  3) 3  n n  3  1 1 1 1 的值．    … 1 4 4  7 7 10 2005  2008 【即学即练 1】用简单方法计算： 1 1 1 1 1     8 24 48 80 120 知识点 03 数学思想在本章中的应用 【知识拓展】． （1）阅读下面材料： 点 A，B 在数轴上分别表示实数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为|AB|． 当 A，B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图（1） ，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|； 当 A，B 两点都不在原点时， ①如图（2），点 A，B 都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|； ②如图（3），点 A，B 都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|； ③如图（4），点 A，B 在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|； 综上，数轴上 A，B 两点之间的距离|AB|=|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么 x 为 ③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是 ④解方程|x+1|+|x﹣2|=5． ． ； ，数轴 知识点 04 规律探索 【知识拓展】．下面两个多位数 1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第 1 位数字乘以 2， 若积为一位数，将其写在第 2 位；若积为两位数，则将其个位数字写在第 2 位．对第 2 位数字再进行如上 操作得到第 3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是( A．495 B．497 C．501 )． D．503 【即学即练】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ A． 1 132 B． 1 360 C． 1 495 D． ） ． 1 660 能力拓展 【能力拓展 1】 410  516 是（ A．10 B．16 ）位数 C．18 D．20 【能力拓展 2】已知 x  2   5  y   0 ，那么 x y  _______． 2 【能力拓展 3】若 a  b  b  a ，那么 a、b 两数必定满足什么条件_________________． 【能力拓展 4】计算并化简： 7 200  5   7  199  1       7 201  ____________．  49  【能力拓展 5】一个机器人从数轴上的原点出发，沿数轴的正半轴方向，以每前进 4 步后退 3 步的程序运动， 设该机器人每秒前进或后退 1 步，并且每步的距离为一个单位长度， xn 表示第 n 秒机器人在数轴上的位置 所对应的数（如 x4  4 ， x5  3 ， x7  1 ），则 x2005  x2017 的结果为____________． 【能力拓展 6】用简便方法计算： 11  35  （1） 17      35  ； 18 36   （2）  73  21  16   75     ． 37  37