第 11 讲 线段、射线、直线及比较线段的长短 目标导航 1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题． [来源:学,科,网] 知识精讲 知识点 一、直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的 细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1 所示，可表示为直线 AB(或直 线 BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线 l ． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成 ：两点确定一条直线． 要点诠释： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． [来源:Z#xx#k.Com] （3）两点确定一条直线 ． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A． （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 二、线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或线段 BA． （2）线段也可用一个小写 英文字母来表示，如图 5 所示，记作：线段 a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线 段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图 6 所示，在 A，B 两点所连的线中 ，线段 AB 的长度是最短的． 图6 要点诠释： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点 间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图 7 所示，点 C 是线段 AB 的中点， 则 AC  CB  1 AB ，或 AB＝2AC＝2BC． 2 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 图7 要点诠释： 若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上． 三、射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图 8 所示，直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点． l 图8 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法： （1）可以用 两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意 一点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线 l． 要点诠释： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图 9 中射线 OA，射线 OB 是不同的射线． 图9 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图 10 中射线 OA、射线 OB、射线 OC 都表示同 一条射线． 图 10 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射 线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 要点诠释： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 【知识拓展 1】相关概念 1、下列说法中，正确的是( ) [来源:Z&xx&k.Com] A．射线 OA 与射线 AO 是同一条射线 B．线段 AB 与线段 BA 是 同一条线段 C．过一点只能画一条直线 D．三条直线两两相交，必有三个交点 【答案】B 【解析】射线 OA 的端点是 O，射线 AO 的端点是 A，所以射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线，故 A 错误； 过一点能画无数条直线，所以 C 错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)， 所以 D 错误；线段 AB 与线段 BA 是同一条线段，所以 B 正确 ． 【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母 写在前面，不能互换． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 2、如图所示，指出图中的直线、射线和线段． 【思路点拨】从图上看，A、D、F 分别是线段 CB、BC、BE 的延长线上的点，也就是说，A、D、F 三点的 位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了． 【答案与解析】解：直线有一条：直线 AD； 射线有六条：射线 BA、射线 BD、射线 CA、射线 CD、射线 BF、射线 EF； 线段有三条：线段 BC、线段 BE、线段 CE． 【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候， 表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线 段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个 字母表示射线方向上的任一点． 【知识拓展 2】有关作图 1、如图所示，线段 a，b，且 a＞b． 用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a－b． 【答案 与解析】解：(1) 画法如图(1)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 AB＝a，再在 AB 的延长线上画线段 BC＝b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC＝a+b． (2) 画法如图(2)，画直线 AF，在直线 AF 上画线段 AB＝a，再在线段 AB 上画线段 BD＝b，线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD＝a－b． 【总结升华】在画线段时，为使 结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度． 2、如图(1)所示，已知线段 a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于 2a－2b． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【答案与解析】解：如图(2)所示： (1)作射线 AF； (2)在射线 AF 上顺次截取 AB＝BC＝a； (3)在线段 AC 上顺次截取 AD＝DE＝b，则线段 EC 就是所要求作的线段． 【总结升华】用尺规作图时， 要熟悉常用的画图语言，注意保留作图痕迹． 【知识拓展 3】有关条数及长度的计算 1、如图，A、B、C、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出 条 直线. 【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数． 【答案】6 条直线 【解析】由两点确定一条直线知，点 A 与 B,C,D 三点各确定一条直线，同理点 B 与 C、D 各确定一条直线， C 与 D 确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）. 【总结升华】平面上有 n 个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为： 1  2  3  ...  ( n  1)  n(n  1) ． 2 2、如图所示，AB＝40，点 C 为 AB 的中点，点 D 为 CB 上的一点，点 E 是 BD 的中点， 且 EB＝5，求 CD 的长． 【思路点拨】显然 CD＝CB－BD，要求 CD 的长，应先确定 CB 和 BD 的长． 【答案与解析】解：因为 AB＝40，点 C 为 AB 的中点， 所以 CB  1 1 AB   40  20 ． 2 2 因为点 E 为 BD 的中点，EB＝5， 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 所以 BD＝2EB＝10．所以 CD＝CB－BD＝20－10＝10． 【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问 题便可迎刃而解． 3、已知线段 AB＝14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4cm，M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长． 【思路点拨】题目中只说明了 A、B、C 三点在同一直线上，无法判定点 C 在线段 AB 上，还是在线段 AB 外(也就是在线段 AB 的延长线上)．所以要分两种情况求线段 AM 的长． 【答案与解析】 解：①当点 C 在线段 AB 上时，如图所示． 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 AM  1 AC ． 2 又因为 AC＝AB－BC，AB＝14cm，BC＝4cm， 所以 AM  1 1 ( AB  BC )  (14  4)  5(cm) ． 2 2 [来源:学科网] ②当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图所示． 因为 M 是线段 AC 的中点， 所以 AM  1 AC ． 2 [来源:学科网] 又因为 AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm， 所以 AM  1 ( AB  BC )  9(cm)． 2 所以线段 AM 的长为 5cm 或 9cm． 【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的 教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论． 【知识拓展 4】最短问题 1、如图所示，在一条笔直公路 a 的两侧，分别有 A、B 两个村庄，现要在公路 a 上建一个汽 车站 C，使汽 车站到 A、B 两村的距离之和最小，问汽车站 C 的位置应如何确定? 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【答案与解析】 解：如图，连接 AB 与直线 a 交于点 C，这个点 C 的位置就是符合条件的汽车站的位置． 【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线 段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，