第 13 讲 一元一次方程的概念和解法 目标导航 1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解 每步变形的依据； 2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 掌握一 [来 元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 学科网 ZXXK] 3. 理解并掌握等式的两个基本性质，进一步熟练在列方程时确定等量关系. 知识精讲 知识点 一、方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释： 判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释： 判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 二、一元一次方程的有关概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的 次数都是 1，这样的方程叫做一元一 次方程. 要点诠释： （1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是 1;④分母中不含有未知 数． （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 a≠0，a,b 是已知数) . （3）一元一次方程的最简形式是： ax＝b（其中 a≠0，a,b 是已知数） . 三、等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 2．等式的性质： 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等.即： 如果 ，那么 (c 为一个数或一个式子) . 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即： 如果 ，那么 ；如果 . ，那么 要点诠释： （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如 x＝0 中，两边加上 得 x＋ ，这个等式不成立; (3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 四、解一元一次方程的一般步骤 变形 名称 具体做法 注意事项 (1)不要漏乘不含分母的项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括 号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 项 (2)不要弄错符号 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项 (1)移项要变号 都移到方程的另一边(记住移项要变号) (2)不要丢项 把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 移项 合并同类 (1)不要漏乘括号里的项 系数化成 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程 1 的解 x  b ． a 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并 简化． (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母 时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 五、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程 [来源:学科网] 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义． 要点诠释：此类问题一般先把方 程化为 ax  b  c 的 形式，分类讨论： (1)当 c  0 时，无解； （2）当 c  0 时，原方程化为：ax  b  0 ； （3）当 c  0 时，原方 程可化为：ax  b  c 或 ax  b  c . 2.含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式 ax＝b，再分三种情况分类讨论： （1）当 a≠0 时， x  b ；（2）当 a＝0，b＝0 时，x 为任意有理数；（3）当 a＝0，b≠0 时，方程无解． a 【知识拓展 1】方程的概念 1、下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ④ 2m－3n＝0； ⑤3x2－2x－1＝0； ⑦ 2 5； x 1 ⑧ ③3x－6； ⑥x+2≠3； 285  x x  ． 5 3 【答案与解析】 解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、 ④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也 可以是多个． 2 7 x  x  1 的解． 3 4 12 (2). x   13 2、检验下列各数是不是方程 (1).x＝12 【答案与解析】 解：(1).把 x＝12 分别代入方程的左边和右边，左边 ∵ 左边≠右边，∴ (2).把 x   2 7  12  8 ，右边   12  1  22 ． 3 4 x＝12 不是方程的解． [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 2  12  8 12 分别代入方程的左边和右边，左边        ， 3  13  13 13 [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 右边  7  12  8      1   ．∵ 左边＝右边，∴ 4  13  13 x 12 是方程的解． 13 【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右 两边，若两 边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是． 3、下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ 1 3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④ x  1 8  2 ；⑤y＝10；⑥   3 ；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2； x x ⑨3a＜－2a． 【答案与解析】 解：等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦． 【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等 式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数． 4、下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( A．2x－1＝3 (2，－1) C. (x－1)(x－2)＝0 (1,2) B． )． 5x  1  x 1 8 D．2(y－2)－1＝5 (3，－3) (5，4) 【答案】C. 【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的， 则不是方程的解． 【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和 右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解． 【知识拓展 2】一元一次方程的相关概念 1、已知方程① x  2  方程的个数是( A．2 B．3 3 x ；②0.4x＝11；③  5 x  1 ；④y2－4y＝3；⑤t＝0；⑥x+2y＝1．其中是一元一次 x 2 ) C．4 D．5 [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 【答案】B. 【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）④未知数的次数为 2， ⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程． 【总结升华】 3 x 3 x 和 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 不是整式， 是 x 2 x 2 整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 2、已知下列方程：① x  1  0 ；②x＝0；③ 1 x  x  3 ；④x+y＝0；⑤  6 x  2 ；⑥0.2x＝4；⑦2x+1－ x 3 3 ＝2(x－1)．其中一元一次方程的个数是( )． 2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方程①中未知数 x 的最高次数是 2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数 x，所以 它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也 不是一元一次方程；⑦经化简后为－2＝－2，故它也不是一 元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程． 【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高 项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整 理未知数的最高次数是 1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程） ． 【知识拓展 3】等式的性质 1、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的． (1)如果 4 4 x  11  5 ，那么 x  5  ________； 3 3 (2)如果 ax+by＝－c，那么 ax＝－c+________； (3)如果  4 3 t  ，那么 t ＝________． 3 4 【答案与解析】 解： (1). 11；根据等式的性质 1，等式两边都加上 11； (2).（－by）； 根据等式的性质 1，等式两边都加上－by； (3).  9 3 ； 根据等式的性质 2，等式两边都乘以  ． 16 4 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行 同样的变形． 2、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍 为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的． (1)若 4a＝8a－5，则 4a+________＝8a． 1 ，则 x＝________． 3 1 1 (3) x  3 y  1  3 y ，则 x  1 ＝________． 2 2 (2)若 6 x  (4)ax+by＝－c，则 ax＝－c________． 【答案与解析】 解： (1) 5 ； 根据等式性质 1，等式两边同时加